Wzór na pole czworokąta o danych wierzchołkach - dowód

[damiano444-92]

Znalazłem wzór na pole n-kąta o danych wierzchołkach \(\displaystyle{ A _{1}(x _{1};y _{1}), A _{2}(x _{2};y _{2}), ..., A _{n}(x _{n};y _{n})}\):
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{vmatrix} x _{1}&y _{1}\\x _{2}&y _{2}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x _{2}&y _{2}\\x _{3}&y _{3}\end{vmatrix} + ... + \begin{vmatrix} x _{n}&y _{n}\\x _{1}&y _{1}\end{vmatrix} \right|}\)

Dla trójkąta go udowodniłem.
Dla czworokąta udowodniłem go jedną metodą, natomiast drugą, przedstawioną tutaj, nie mogę go udowodnić.

Dla czworokąta wzór ten brzmi:
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{vmatrix} x _{1}&y _{1}\\x _{2}&y _{2}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x _{2}&y _{2}\\x _{3}&y _{3}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x _{3}&y _{3}\\x _{4}&y _{4}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x _{4}&y _{4}\\x _{1}&y _{1}\end{vmatrix} \right|}\) (wzór \(\displaystyle{ (*)}\) )

Chciałem udowodnić ten wzór dla czworokąta \(\displaystyle{ A _{1}A _{2}A _{3}A _{4}}\), dzieląc go na dwa trójkąty: \(\displaystyle{ A _{1}A _{2}A _{3}}\) oraz \(\displaystyle{ A _{1}A _{4}A _{3}}\).
Mój czworokąt jest zbudowany na wektorach:
\(\displaystyle{ \vec{A _{1}A _{2}} = \left[ x _{12};y _{12} \right] = \left[ \left( x _{2} - x _{1}\right) ;\left( y _{2} - y _{1}\right) \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{A _{2}A _{3}} = \left[ x _{23};y _{23} \right] = \left[ \left( x _{3} - x _{2}\right) ;\left( y _{3} - y _{2}\right) \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{A _{3}A _{4}} = \left[ x _{34};y _{34} \right] = \left[ \left( x _{4} - x _{3}\right) ;\left( y _{4} - y _{3}\right) \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{A _{4}A _{1}} = \left[ x _{41};y _{41} \right]}\) = left[ left( x _{1} - x _{4}
ight) ;left( y _{1} - y _{4}
ight)
ight]
, gdzie
\(\displaystyle{ x _{ij} = x _{j} - x _{i}}\),
\(\displaystyle{ y _{ij} = y _{j} - y _{i}}\)

Otrzymałem więc
\(\displaystyle{ P = P _{A _{1}A _{2}A _{3}} + P _{A _{1}A _{4}A _{3}} = \\
= \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} x _{12}&y _{12}\\x _{13}&y _{13}\end{vmatrix}
+ \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} x _{14}&y _{14}\\x _{13}&y _{13}\end{vmatrix} = \\
= \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} \left( x _{12} + x _{14} \right) &\left( y _{12} + y _{14} \right) \\x _{13}&y _{13}\end{vmatrix}}\)

Dalej, po rozpisaniu, wymnożeniu i pogrupowaniu wyrazów, otrzymuję wyrażenie
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{vmatrix} x _{1}&y _{1}\\x _{2}&y _{2}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x _{2}&y _{2}\\x _{3}&y _{3}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -x _{3}&-y _{3}\\x _{4}&y _{4}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -x _{4}&-y _{4}\\x _{1}&y _{1}\end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} x _{1}&y _{1}\\x _{3}&y _{3}\end{vmatrix} \right|}\)
i nijak nie mogę z niego otrzymać wzoru \(\displaystyle{ (*)}\).

Coś zrobiłem nieprawidłowo? Dlaczego nie otrzymałem poprawnego wyniku?

[SlotaWoj]

Popraw \(\displaystyle{ \vec{A _{4}A _{1}}}\) (przycisk Edytuj) oraz usuń „, ” przed i dodaj „:” po gdzie.

Nie wiem, na czym polega pierwsza metoda, ale w tej drugiej powinieneś obliczyć pole trójkąta \(\displaystyle{ A_1A_3A_4}\) zamiast pola trójkąta \(\displaystyle{ A_1A_4A_3}\). Kolejność wierzchołków ma znaczenie.

[damiano444-92]

Dzięki za odpowiedź.

1.
Nie rozumiem, dlaczego kolejność wierzchołków ma znaczenie.
Czy tylko dlatego, że
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} x _{12}&y _{12}\\x _{13}&y _{13}\end{vmatrix} \neq \begin{vmatrix} x _{13}&y _{13}\\x _{12}&y _{12}\end{vmatrix}}\) ?
(A konkretniej, zachodzi \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} x _{12}&y _{12}\\x _{13}&y _{13}\end{vmatrix} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} x _{13}&y _{13}\\x _{12}&y _{12}\end{vmatrix}}\) )
Jest na to jakieś wytłumaczenie typu że jesteśmy w układzie prostokątnym prawoskrętnym, więc wierzchołki numerujemy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara?

2.
Nadal nic mi Twoja odpowiedź nie pomogła w dojściu do wzoru \(\displaystyle{ (*)}\), wychodząc od pole czworokąta jako sumy pól dwóch trójkątów

[SlotaWoj]

Pole trójkąta, to połowa iloczynu wektorowego dwóch boków, przy czym oba wektory wychodzą z jednego wierzchołka i pierwszy wektor jest po lewej stronie drugiego. Jeśli chcemy, aby pola trójkątów składowych miały ten sam znak, to orientacja tych wektorów we wszystkich trójkątach była taka sama.