środek ciężkości wycinka spirali

[skorpionxx]

Witam
Pozdrawiam wszystkich

Borykam się z takim problemem.
Wykreślam dwie spirale (spirala \(\displaystyle{ r=a \cdot \phi}\)) o różnych wartościach "\(\displaystyle{ a}\)".
Następnie mam za zadanie obliczyć pole powierzchni i środek ciężkości figury ograniczonej tymi dwiema spiralami jak na rys - to zaczernione.
Problemem jest , ze nie wiem jak się zabrać i jak wyznaczyć środek ciężkości.

Dane jakimi dysponuje
promień \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ h_0\\
h_1\\
q_1}\)
kąt \(\displaystyle{ \phi_1}\)

AU

2re02gn.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 81 razy

[SlotaWoj]

Pole powierzchni:

• \(\displaystyle{ r_1(\phi)=a_1\phi+r+h_0 \\
  r_2(\phi)=a_2\phi+r+h_0 \\
  a_1=\frac{2(h_1-h_0)}{\pi} \\
  a_2=\frac{2(h_1-h_0+q_1)}{\pi} \\
  S=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r_2^2(\phi)-r_1^2(\phi) \ d\phi}\)

Środek ciężkości (współrzędne w kierunku \(\displaystyle{ x:\ \phi=0}\) i \(\displaystyle{ y:\ \phi=\pi/2}\)):

• \(\displaystyle{ x_s=\frac{1}{4S}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(r_2^2(\phi)-r_1^2(\phi)\right)\mbox{·}(r_2(\phi)+r_1(\phi))\mbox{·}\cos\phi\ d\phi \\
  y_s=\frac{1}{4S}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(r_2^2(\phi)-r_1^2(\phi)\right)\mbox{·}(r_2(\phi)+r_1(\phi))\mbox{·}\sin\phi\ d\phi}\)

[skorpionxx]

Dziękuję za odpowiedź, nie spodziewałem się że tak szybko to będzie
A mam jeszcze jedno pytanie (może ja nie doprecyzowałem problem) czy ten wzór jest uniwersalny dla wszystkich kątów fi czy tylko od 0 do pi/2

Bo zastanawiam się jaki będzie wzór jak kat fi będzie większy od pi/2

[SlotaWoj]

Wzory na \(\displaystyle{ S}\) oraz \(\displaystyle{ x_s}\) i \(\displaystyle{ y_s}\) są uniwersalne. Tu dotyczą one pola i położenia środka ciężkości powierzchni ograniczonej dwoma krzywymi o równaniach biegunowych.
Natomiast ich zastosowania niekoniecznie muszą być uniwersalne – tu ze względu na rodzaj krzywych (spirale Archimedesa).
Bo gdy wyobrazić sobie, że dotyczy on rozkładu obciążenia ciągłego spowodowanego np. przez śnieg spoczywający na dachu będącym powierzchnią walcową, to powinien on być dla kątów od \(\displaystyle{ \pi}\) do \(\displaystyle{ \pi/2}\) symetryczny w stosunku do przedstawionego na rysunku. Zresztą w tym przypadku ma on dodatkowo ten niedostatek, że pochodna \(\displaystyle{ q'(\pi/2)\neq0}\) .