Witam
Pozdrawiam wszystkich
Borykam się z takim problemem.
Wykreślam dwie spirale (spirala \(\displaystyle{ r=a \cdot \phi}\)) o różnych wartościach "\(\displaystyle{ a}\)".
Następnie mam za zadanie obliczyć pole powierzchni i środek ciężkości figury ograniczonej tymi dwiema spiralami jak na rys - to zaczernione.
Problemem jest , ze nie wiem jak się zabrać i jak wyznaczyć środek ciężkości.
Dane jakimi dysponuje
promień \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ h_0\\
h_1\\
q_1}\)
kąt \(\displaystyle{ \phi_1}\)
środek ciężkości wycinka spirali
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 18 lip 2011, o 09:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 1 raz
środek ciężkości wycinka spirali
Ostatnio zmieniony 1 cze 2016, o 22:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
środek ciężkości wycinka spirali
Pole powierzchni:
- \(\displaystyle{ r_1(\phi)=a_1\phi+r+h_0 \\
r_2(\phi)=a_2\phi+r+h_0 \\
a_1=\frac{2(h_1-h_0)}{\pi} \\
a_2=\frac{2(h_1-h_0+q_1)}{\pi} \\
S=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r_2^2(\phi)-r_1^2(\phi) \ d\phi}\)
- \(\displaystyle{ x_s=\frac{1}{4S}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(r_2^2(\phi)-r_1^2(\phi)\right)\mbox{·}(r_2(\phi)+r_1(\phi))\mbox{·}\cos\phi\ d\phi \\
y_s=\frac{1}{4S}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(r_2^2(\phi)-r_1^2(\phi)\right)\mbox{·}(r_2(\phi)+r_1(\phi))\mbox{·}\sin\phi\ d\phi}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 18 lip 2011, o 09:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 1 raz
środek ciężkości wycinka spirali
Dziękuję za odpowiedź, nie spodziewałem się że tak szybko to będzie
A mam jeszcze jedno pytanie (może ja nie doprecyzowałem problem) czy ten wzór jest uniwersalny dla wszystkich kątów fi czy tylko od 0 do pi/2
Bo zastanawiam się jaki będzie wzór jak kat fi będzie większy od pi/2
A mam jeszcze jedno pytanie (może ja nie doprecyzowałem problem) czy ten wzór jest uniwersalny dla wszystkich kątów fi czy tylko od 0 do pi/2
Bo zastanawiam się jaki będzie wzór jak kat fi będzie większy od pi/2
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
środek ciężkości wycinka spirali
Wzory na \(\displaystyle{ S}\) oraz \(\displaystyle{ x_s}\) i \(\displaystyle{ y_s}\) są uniwersalne. Tu dotyczą one pola i położenia środka ciężkości powierzchni ograniczonej dwoma krzywymi o równaniach biegunowych.
Natomiast ich zastosowania niekoniecznie muszą być uniwersalne – tu ze względu na rodzaj krzywych (spirale Archimedesa).
Bo gdy wyobrazić sobie, że dotyczy on rozkładu obciążenia ciągłego spowodowanego np. przez śnieg spoczywający na dachu będącym powierzchnią walcową, to powinien on być dla kątów od \(\displaystyle{ \pi}\) do \(\displaystyle{ \pi/2}\) symetryczny w stosunku do przedstawionego na rysunku. Zresztą w tym przypadku ma on dodatkowo ten niedostatek, że pochodna \(\displaystyle{ q'(\pi/2)\neq0}\) .
Natomiast ich zastosowania niekoniecznie muszą być uniwersalne – tu ze względu na rodzaj krzywych (spirale Archimedesa).
Bo gdy wyobrazić sobie, że dotyczy on rozkładu obciążenia ciągłego spowodowanego np. przez śnieg spoczywający na dachu będącym powierzchnią walcową, to powinien on być dla kątów od \(\displaystyle{ \pi}\) do \(\displaystyle{ \pi/2}\) symetryczny w stosunku do przedstawionego na rysunku. Zresztą w tym przypadku ma on dodatkowo ten niedostatek, że pochodna \(\displaystyle{ q'(\pi/2)\neq0}\) .