Mam problem z pokazaniem równoważności definicji hiperboli tzn.
jak przejść z definicji hiperboli jako krzywej stożkowej do rónania \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\) i odwrotnie.
Szczerze mówiąc nawet nie wiem ja zacząć.
Bardzo proszę o pomoc
równoważności definicji hiperboli
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
równoważności definicji hiperboli
Wezmę równanie stożka dwupowłokowego
\(\displaystyle{ Ax^2=By^2+z^2}\); gdzie \(\displaystyle{ A,B>0}\)
Przetnę ją płaszczyzną \(\displaystyle{ z=k}\) dostając równanie krzywej na tej płaszczyźnie
\(\displaystyle{ Ax^2=By^2+k^2}\)
\(\displaystyle{ Ax^2-By^2=k^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ (\sqrt{A})^2 }{k^2} x^2- \frac{ (\sqrt{B})^2 }{k^2}y^2=1}\)
Stosując podstawienie \(\displaystyle{ a^2=\frac{k^2}{ (\sqrt{A})^2 } \wedge b^2=\frac{k^2}{ (\sqrt{B})^2 }}\) dostaję równanie \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1}\)
O to Ci chodziło?
\(\displaystyle{ Ax^2=By^2+z^2}\); gdzie \(\displaystyle{ A,B>0}\)
Przetnę ją płaszczyzną \(\displaystyle{ z=k}\) dostając równanie krzywej na tej płaszczyźnie
\(\displaystyle{ Ax^2=By^2+k^2}\)
\(\displaystyle{ Ax^2-By^2=k^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ (\sqrt{A})^2 }{k^2} x^2- \frac{ (\sqrt{B})^2 }{k^2}y^2=1}\)
Stosując podstawienie \(\displaystyle{ a^2=\frac{k^2}{ (\sqrt{A})^2 } \wedge b^2=\frac{k^2}{ (\sqrt{B})^2 }}\) dostaję równanie \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1}\)
O to Ci chodziło?