Najmniejsze możliwe pole obszaru, funkcje

[suzzy96]

Proszę o pomoc: Jaką wartość powinno mieć \(\displaystyle{ m}\) aby pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji \(\displaystyle{ y=|x-1|-2}\) i \(\displaystyle{ y=2mx}\) było najmniejsze?

[bartek118]

Hint: policz to pole.

[suzzy96]

Pole wychodzi: \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ (2m+2)^{4} }{ (2m+1)^{2} (2m-1) ^{2} } }}\)
I wiem, że muszę obliczyć pochodną, ale nie wiem jak.

[bartek118]

Odczytaj z rysunku jakie \(\displaystyle{ m}\) badamy, jak będziemy w stanie określić znaki tych wyrażeń, będziemy w stanie pozbyć się pierwiastka.

[suzzy96]

\(\displaystyle{ m \in \left\langle -1,\right1\rangle}\), ale nie wiem jak to udowodnić bez rysunku. Wówczas pole wynosi \(\displaystyle{ \frac{ (2m+2)^{2} }{4m ^{2} -1}}\)

[bartek118]

Nie. \(\displaystyle{ 2m \in (-1,1)}\), czyli \(\displaystyle{ m \in \left( - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)}\). Gdy tak nie jest, to pole jest nieskończone - jak to udowodnić - formalnie, możesz wskazać nieograniczony "prostokąt" zawarty między tymi krzywymi, z rysunku widać jaki ten prostokąt wziąć.
No to jak mamy już pole w takiej postaci:
\(\displaystyle{ P(m) = \frac{ (2m+2)^{2} }{4m ^{2} -1} = \frac{4m^2 + 8m + 4}{4m^2 - 1} = 1 + \frac{8m + 5}{4m^2 - 1}}\)
to chyba trzeba użyć pochodnych. Nie widzę jak ładnie inaczej to szacować.

Edit: Nie zauważyłem usterki u Ciebie. Pole wynosi
\(\displaystyle{ P(m) = - \frac{ (2m+2)^{2} }{4m ^{2} -1} = -1 + \frac{8m + 5}{1 - 4m^2}}\)

Edit2: Policzenie pochodnej faktycznie daje wynik jak należy.

[suzzy96]

Hm no tak. Właśnie o tą pochodną chodzi. Nie wychodzi mi ona. Liczyłam z tej postaci \(\displaystyle{ P(m) = - \frac{ (2m+2)^{2} }{4m ^{2} -1}}\)

[bartek118]

Policz dla
\(\displaystyle{ -1 + \frac{8m + 5}{1 - 4m^2}}\)

Będą prostsze rachunki.

[suzzy96]

Nadal mi nie wychodzi. Pewnie robię gdzieś błąd z racji tego, że mózg mi się już wyłączył Mógłbyś podać co tam wyjdzie? Sama dojdę gdzie mam źle.-- 7 kwi 2015, o 22:09 --ok. Wyszła mi pochodna. Miejsca zerowe licznika to \(\displaystyle{ - \frac{1}{4} , -1}\), a mianownika \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}}\)

[bartek118]

\(\displaystyle{ -1}\) odrzucamy ze względu na graficzne rozważania; zatem mamy \(\displaystyle{ - \frac{1}{4}}\). Zbadaj zachowanie się funkcji w otoczeniu by ujrzeć, iż jest to minimum.