Przecięcie dwóch krzywych

[Majkello]

Witam.
Mógłby ktoś pomóc mi przy policzeniu pkt przecięć dwóch krzywych?

Te krzywe to:
\(\displaystyle{ y = \frac{4}{x}}\)
\(\displaystyle{ y = \sqrt{x} - 1}\)

Przyrównuje je do siebie
\(\displaystyle{ \frac{4}{x} = \sqrt{x} - 1}\)

Ale nie wiem co dalej. Jak podniosę obie strony do 2 potęgi.
To mam coś takiego
\(\displaystyle{ \frac{16}{ x^{2} } = x - 2 \sqrt{x} + 1}\)
Jak się pozbyć tego pierwiastka? Jak to rozwiązać? Jakieś podpowiedzi?


Pozdrawiam serdecznie.

[yorgin]

Przyrównuje je do siebie
\(\displaystyle{ \frac{4}{x} = \sqrt{x} - 1}\)

Widać, że \(\displaystyle{ x=4}\) spełnia równanie. Więcej pierwiastków nie ma, gdyż dla \(\displaystyle{ x>0}\) funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto \frac{4}{x}}\) jest ściśle malejąca i \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{4}{x}=0}\), a \(\displaystyle{ x\mapsto \sqrt{x}-1}\) jest ściśle rosnąca i \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{x}-1=+\infty}\)

[Majkello]

Faktycznie. To takie proste.. Za bardzo chciałem sobie skomplikować sprawę.

Dzięki wielkie i pozdrawiam!

[yorgin]

Możesz to również rozwiązać algebraicznie:

\(\displaystyle{ 4=x\sqrt{x}-x}\)

\(\displaystyle{ t=\sqrt{x}}\)

\(\displaystyle{ t^3-t^2-4=0}\)

\(\displaystyle{ t=2}\) jest pierwiastkiem wymiernym, po podzieleniu dostaniesz

\(\displaystyle{ (t^2+t+2)(t-2)}\)

Wyróżnik trójmianu jest ujemny, więc jest tylko jeden pierwiastek \(\displaystyle{ t=2}\), czyli

\(\displaystyle{ \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4}\).