Styczna do funkcji

[macikiw2]

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= x ^{3}}\) która przecina oś ox w punkcie \(\displaystyle{ \left( -4,0\right)}\)

Mam pytanko podstawiłem pod wzór na styczną dane współrzędne x i y i wyszło mi że \(\displaystyle{ x _{0}=0}\) lub \(\displaystyle{ x _{0}=-6}\). Dla \(\displaystyle{ 0}\) styczna przybierze postać \(\displaystyle{ y=0}\) . Czyli nie będzie styczna a będzie przecinać ten wykres. Czyli tak jakby to rozwiązanie odpadło...No ale podstawiłem pod wzór na na równanie stycznej więc nie powinno tak wyjść. Żadnych założeń do tego wzoru nie widziałem więc mam dylemat.

[macikiw2]

Mam podane współrzędne więc policzyłem tak :

\(\displaystyle{ 0-f(x _{0})=f'(x _{0})\left( -4-x _{0} \right)}\)
\(\displaystyle{ f(x _{0})=4f'(x _{0}) + f'(x _{0}) \cdot x _{0}}\)

\(\displaystyle{ f'(x _{0})=3 x _{0}^{2}}\)
\(\displaystyle{ f(x _{0})=x _{0} ^{3}}\)

Podstawiając wychodzi
\(\displaystyle{ 2x _{0} ^{3} + 12x _{0} ^{2} = 0}\)

No i z tego wynika że \(\displaystyle{ x _{0}=0}\) lub \(\displaystyle{ x _{0}=-6}\)

\(\displaystyle{ f'(0)=0}\)
\(\displaystyle{ f(0)=0}\)
\(\displaystyle{ f'(-6)=108}\)
\(\displaystyle{ f(-6)=-216}\)

Jedno równanie wychodzi że \(\displaystyle{ y=0}\) drugie \(\displaystyle{ y=108x+432}\), no ale to pierwsze równanie przetnie wykres jakby nie patrzeć.-- 29 mar 2015, o 14:51 --Ale ta współrzędna to nie jest punkt styczności tylko to jest miejsce gdzie prosta przecina oś xo.

[janusz47]

Drugi sposób:
\(\displaystyle{ y=3x^{2}_{0}(x-x_{0})+x^{3}_{0}.}\)
\(\displaystyle{ 0 = 3x^{2}_{0}(-4- x_{0})+x_{0}^{3}.}\)
\(\displaystyle{ -2x^{2}_{0}(x_{0}+6)=0}\)
\(\displaystyle{ x_{01}=-6, y_{01}=x^{3}_{01}= -216}\)
\(\displaystyle{ x_{02}=0, y_{02}=0.}\)

Równanie stycznej
\(\displaystyle{ y = 3(-6)^2(x+6)- 216}\)
\(\displaystyle{ y = 108(x+6)-216}\)
\(\displaystyle{ y= 108x + 648 -216}\)
\(\displaystyle{ y = 108x +432}\)

[macikiw2]

No dobra tak jest, ale na jakiej zasadzie odrzucamy rozwiązanie gdy \(\displaystyle{ x _{0}=0}\) ja widzę że ta prosta przecina funkcje a nie jest styczna ale z czego to wynika, jeśli podstawiam pod wzór na styczną. Są do tego wzoru jakieś dodatkowe założenia ? Bo przy takiej prostej funkcji to łatwo ocenić, ale przy bardziej skomplikowanej to już niekoniecznie...

[janusz47]

Równanie \(\displaystyle{ y=0}\) jest równaniem osi Ox, która jest styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0, 0)}\)

[szachimat]

Jest to nietypowy przykład stycznej, która przecina wykres. Wprawdzie nie odpowiada to naszemu wyobrażeniu o stycznej, ale rachunki nakazują uznać taką prostą za styczną. Czyli masz dobrze.