Suma odległości punktów od prostej-zadanie.

Agniesia · Post autor: **Agniesia** » 5 lut 2005, o 21:55

treść:

na prostej o równaniu y=x-2 znajdź punkt, dla którego suma jego odległości od punktów A=(-3;4) i B=(1;5) jest najmniejsza.

bardzo proszę o wskazówki, co do rozwiązania tego zadanka. jestem w 2 klasie LO wiec proszę o odpowiedzi bazujące na wiedzy odpowiedniej do tego poziomu. chodzi mi o podanie jakiś prostych zależności, a nie na poziomie studiów.

dzięki za zainteresowanie się tym zadaniem.
z góry wielkie dzięki za wskazówki.

arigo · Post autor: **arigo** » 5 lut 2005, o 22:29

nie wiem co jest teraz w 2 lo ale to wyglada na pierwszy rzut oka na typowe zadanie na pochodna.

przedstawiasz sume odleglosci od tych punktow jako funkcje 1 zmiennej, a nastepnie szukasz jej extremow

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 5 lut 2005, o 22:54

gdzie pochodna?, czyzbys polowal na kanarka uzywajac bazooki?

przebij sobie jeden punkt w symetrii wzgledem tej \(\displaystyle{ y=x-2}\)
powiedzmy A niech \(\displaystyle{ A'=(-7;1)}\)
i na przecieciu prostych A'B i \(\displaystyle{ y=x-2}\) znajuduje sie twoj punkt

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 6 lut 2005, o 10:49

Zakładaj wątki w odpowiednich działach. Ten przeniosłem.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

P@wel.C · Post autor: **P@wel.C** » 25 lut 2005, o 01:44

Oznaczmy szukany punkt jako C, jeśli leży on na prostej y=x-2 to posiada on wspórzędne C(x,x-2) więc mamy tylko jedną niewiadomą.

A=(-3;4) B=(1;5)

Ze wzoru na odległóść między punktami A i C otrzymujemy

\(\displaystyle{ \sqrt{(-3-x)^2 + (4-x-2)^2} = \sqrt{(3+x)^2 + (2-x)^2} = \sqrt{9+6x+x^2+4-4x+x^2}= \sqrt{2x^2 + 2x + 10}= \sqrt{2(x^2 + x + 5)}}\)
Natomiast ze wzoru na odległóść między punktami B i C otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sqrt{(1-x)^2 + (5-x-2)^2} = \sqrt{(1-x)^2 + (3-x)^2}= \sqrt{1-2x+x^2 +9-6x+x^2}= \sqrt{2x^2-8x+10} = \sqrt{2(x^2-4x+5)}}\)

Tak więc suma odległości między punktami A i C oraz B i C to
\(\displaystyle{ \sqrt{2(x^2 + x + 5)}+\sqrt{2(x^2-4x+5)}}\) czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}( \sqrt{x^2 + x + 5}+\sqrt{x^2-4x+5})}\) hehe troche skomplikowane wyszło ... i teraz trzeba znaleść taki x dla którego \(\displaystyle{ \sqrt{2}( \sqrt{x^2 + x + 5}+\sqrt{x^2-4x+5})}\) ma najmniejszą wartość .... dobrze kombinuje? można to rozwiązac w ten sposób?

********************
Ehh to musi dać sie zrobić prościej... policzyłem pochodną \(\displaystyle{ \sqrt{2}( \sqrt{x^2 + x + 5}+\sqrt{x^2-4x+5})}\), żeby znaleść extrema..ale wyszły mi jeszcze większe dziwactwa.... musze sie zacząć uczyć matematyki bo na tym co umiem daleko nie zajade....

ps. nie smiejcie sie ze mnie
ps2. mógłby to ktoś porządnie rozwiązać?

olazola · Post autor: **olazola** » 25 lut 2005, o 15:57

elektrooonik pisze: ps2. mógłby to ktoś porządnie rozwiązać?

_el_doopa przecież przedsawił sposób rozwiązania tego zadania. A że tam nie ma pochodnych, to chyba nie jest błąd. Jest tam wykorzystana własność symetrii.