Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem

[k95n]

Witam,
Mam dane dwie proste
1) \(\displaystyle{ y=2x-255}\)
2) \(\displaystyle{ y=0,25x+110}\)

Oraz punkt \(\displaystyle{ Q (X=90 Y=147)}\)

Mam za zadanie znaleźć promień okręgu, który przechodzi przez punkt Q oraz punkty styczności.
W tym celu znalazłem sobie dwa dodatkowe punkty (A i B) leżące na każdej prostej.
Obliczyłem kąt P,W,K, obliczyłem też miarę kąta środkowego okręgu (P,S,K).
Teraz wiem, że powinienem ułożyć jakiś układ równań żeby uzyskać promień ale nie wiem jaki. Ktoś pomoże?
W linku szkic:


Doszedłem jeszcze do tego, że równanie okręgu ma taką postać:
\(\displaystyle{ (90-Xs) ^{2} +(146-Ys) ^{2}= R^{2}}\)

[Konradek]

Mam za zadanie znaleźć promień okręgu, który przechodzi przez punkt Q oraz punkty styczności.

Na pewno tak brzmi treść?

[k95n]

Tak, muszę znaleźć promień okręgu i punkty P i K, które zaznaczyłem na tym szkicu.

[Konradek]

Przepraszam, na pierwszy rzut oka zrozumiałem to jak promień, który przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ Q}\) oraz przechodzi przez punkty styczności.

\(\displaystyle{ o: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\), gdzie \(\displaystyle{ S(a,b)}\) to środek okręgu \(\displaystyle{ o}\), a \(\displaystyle{ r}\) to jego promień
wiedząc, że \(\displaystyle{ d(S, l_{1})=d(S, l_{2})}\) możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ b}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\).
Następnie wiedząc, że \(\displaystyle{ Q \in o}\) ułóż równanie z niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ r}\).
Potrzebujesz jeszcze jednego równania.

[k95n]

Przepraszam, na pierwszy rzut oka zrozumiałem to jak promień, który przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ Q}\) oraz przechodzi przez punkty styczności.

\(\displaystyle{ o: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\), gdzie \(\displaystyle{ S(a,b)}\) to środek okręgu \(\displaystyle{ o}\), a \(\displaystyle{ r}\) to jego promień
wiedząc, że \(\displaystyle{ d(S, l_{1})=d(S, l_{2})}\) możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ b}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\).
Następnie wiedząc, że \(\displaystyle{ Q \in o}\) ułóż równanie z niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ r}\).
Potrzebujesz jeszcze jednego równania.

A w jaki sposób wyznaczyć \(\displaystyle{ b}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\) ?
Co powinno zawierać drugie równanie? Myślę, że jak to będę wiedział to dalej dam sobie radę

[Ania221]

Znajdź równanie dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ AWB}\)
Na tej dwusiecznej leży środek okręgu

[Konradek]

Zastosuj wzór na odległość punktu od prostej. (\(\displaystyle{ d(S, l_{1})=d(S, l_{2})}\) oznacza dokładnie tyle, co "odległość punktu \(\displaystyle{ S}\) od prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\) jest równa odległości punktu \(\displaystyle{ S}\) od prostej \(\displaystyle{ l_{2}}\)).
Otrzymasz dwie proste (nawiasem mówiąc będą to dwusieczne kątów utworzonych przez dane proste), ale jedną z nich możesz odrzucić (którą i dlaczego?).
Skoro otrzymasz równianie z niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ r}\), musisz ułożyć drugie, również z tymi niewiadomymi, aby je wyliczyć. Może przyda się fakt, że \(\displaystyle{ |SQ|=|SP|=|SK|}\).

[Ania221]

Równanie dwusiecznej , np z tablic

\(\displaystyle{ \frac{\left| 2x-y-255\right| }{ \sqrt{2^2+1} } = \frac{\left| 0,25x-y+110\right| }{ \sqrt{(0,25)^2+1} }}\)

Otrzymasz 2 proste, bo sa dwie dwusieczne, musisz wybrać tę leżącą wewnątrz kąta \(\displaystyle{ AWB}\)
W tym równaniu zamieniasz x i y na a i b, bo środek okręgu S(a,b) leży na tej dwusiecznej.

współrzędne punktów styczności, leżących na danych prostych \(\displaystyle{ A(x, 2x-255)}\), \(\displaystyle{ B(x, 0,25x+110)}\)

Pozostale równania

\(\displaystyle{ (x-a)^2+(2x-255-b)^2=r^2}\)

\(\displaystyle{ (x-a)^2+(0,25x+110-b)^2=r^2}\)

\(\displaystyle{ (90-a)^2+(147-b)^2=r^2}\)

Mamy układ 4 równań z 4 niewiadomymi

[k95n]

Przy wyznaczaniu równania dwusiecznej wyzerowały mi się "y". Chyba coś poszło nie tak, mógłby ktoś skontrolować?

[Kartezjusz]

Współczynnik kierunkowy dwusiecznej jest to średnia arytmetyczna obu współczynników danych.

[Ania221]

Współczynnik kierunkowy dwusiecznej jest to średnia arytmetyczna obu współczynników danych.

Hm...jakoś nie jestem o tym przekonana...z równania dwusiecznej wynika całkiem co innego.
Jeżeli weźmiemy proste \(\displaystyle{ y=3x}\) i \(\displaystyle{ y=x}\) to wsp jednej z dwusiecznych byłby \(\displaystyle{ m=2}\).
Nie zgadza się to ani z równaniem dwusiecznej, ani z rysunkiem.