Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 20 paź 2011, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
Witam,
Mam dane dwie proste
1) \(\displaystyle{ y=2x-255}\)
2) \(\displaystyle{ y=0,25x+110}\)
Oraz punkt \(\displaystyle{ Q (X=90 Y=147)}\)
Mam za zadanie znaleźć promień okręgu, który przechodzi przez punkt Q oraz punkty styczności.
W tym celu znalazłem sobie dwa dodatkowe punkty (A i B) leżące na każdej prostej.
Obliczyłem kąt P,W,K, obliczyłem też miarę kąta środkowego okręgu (P,S,K).
Teraz wiem, że powinienem ułożyć jakiś układ równań żeby uzyskać promień ale nie wiem jaki. Ktoś pomoże?
W linku szkic:
Doszedłem jeszcze do tego, że równanie okręgu ma taką postać:
\(\displaystyle{ (90-Xs) ^{2} +(146-Ys) ^{2}= R^{2}}\)
Mam dane dwie proste
1) \(\displaystyle{ y=2x-255}\)
2) \(\displaystyle{ y=0,25x+110}\)
Oraz punkt \(\displaystyle{ Q (X=90 Y=147)}\)
Mam za zadanie znaleźć promień okręgu, który przechodzi przez punkt Q oraz punkty styczności.
W tym celu znalazłem sobie dwa dodatkowe punkty (A i B) leżące na każdej prostej.
Obliczyłem kąt P,W,K, obliczyłem też miarę kąta środkowego okręgu (P,S,K).
Teraz wiem, że powinienem ułożyć jakiś układ równań żeby uzyskać promień ale nie wiem jaki. Ktoś pomoże?
W linku szkic:
Doszedłem jeszcze do tego, że równanie okręgu ma taką postać:
\(\displaystyle{ (90-Xs) ^{2} +(146-Ys) ^{2}= R^{2}}\)
Ostatnio zmieniony 25 mar 2015, o 20:05 przez k95n, łącznie zmieniany 4 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 163
- Rejestracja: 29 lis 2011, o 20:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
Na pewno tak brzmi treść?k95n pisze:Mam za zadanie znaleźć promień okręgu, który przechodzi przez punkt Q oraz punkty styczności.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 20 paź 2011, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
Tak, muszę znaleźć promień okręgu i punkty P i K, które zaznaczyłem na tym szkicu.
-
- Użytkownik
- Posty: 163
- Rejestracja: 29 lis 2011, o 20:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
Przepraszam, na pierwszy rzut oka zrozumiałem to jak promień, który przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ Q}\) oraz przechodzi przez punkty styczności.
\(\displaystyle{ o: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\), gdzie \(\displaystyle{ S(a,b)}\) to środek okręgu \(\displaystyle{ o}\), a \(\displaystyle{ r}\) to jego promień
wiedząc, że \(\displaystyle{ d(S, l_{1})=d(S, l_{2})}\) możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ b}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\).
Następnie wiedząc, że \(\displaystyle{ Q \in o}\) ułóż równanie z niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ r}\).
Potrzebujesz jeszcze jednego równania.
\(\displaystyle{ o: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\), gdzie \(\displaystyle{ S(a,b)}\) to środek okręgu \(\displaystyle{ o}\), a \(\displaystyle{ r}\) to jego promień
wiedząc, że \(\displaystyle{ d(S, l_{1})=d(S, l_{2})}\) możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ b}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\).
Następnie wiedząc, że \(\displaystyle{ Q \in o}\) ułóż równanie z niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ r}\).
Potrzebujesz jeszcze jednego równania.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 20 paź 2011, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
A w jaki sposób wyznaczyć \(\displaystyle{ b}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\) ?Konradek pisze:Przepraszam, na pierwszy rzut oka zrozumiałem to jak promień, który przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ Q}\) oraz przechodzi przez punkty styczności.
\(\displaystyle{ o: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\), gdzie \(\displaystyle{ S(a,b)}\) to środek okręgu \(\displaystyle{ o}\), a \(\displaystyle{ r}\) to jego promień
wiedząc, że \(\displaystyle{ d(S, l_{1})=d(S, l_{2})}\) możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ b}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\).
Następnie wiedząc, że \(\displaystyle{ Q \in o}\) ułóż równanie z niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ r}\).
Potrzebujesz jeszcze jednego równania.
Co powinno zawierać drugie równanie? Myślę, że jak to będę wiedział to dalej dam sobie radę
-
- Użytkownik
- Posty: 163
- Rejestracja: 29 lis 2011, o 20:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
Zastosuj wzór na odległość punktu od prostej. (\(\displaystyle{ d(S, l_{1})=d(S, l_{2})}\) oznacza dokładnie tyle, co "odległość punktu \(\displaystyle{ S}\) od prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\) jest równa odległości punktu \(\displaystyle{ S}\) od prostej \(\displaystyle{ l_{2}}\)).
Otrzymasz dwie proste (nawiasem mówiąc będą to dwusieczne kątów utworzonych przez dane proste), ale jedną z nich możesz odrzucić (którą i dlaczego?).
Skoro otrzymasz równianie z niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ r}\), musisz ułożyć drugie, również z tymi niewiadomymi, aby je wyliczyć. Może przyda się fakt, że \(\displaystyle{ |SQ|=|SP|=|SK|}\).
Otrzymasz dwie proste (nawiasem mówiąc będą to dwusieczne kątów utworzonych przez dane proste), ale jedną z nich możesz odrzucić (którą i dlaczego?).
Skoro otrzymasz równianie z niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ r}\), musisz ułożyć drugie, również z tymi niewiadomymi, aby je wyliczyć. Może przyda się fakt, że \(\displaystyle{ |SQ|=|SP|=|SK|}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
Równanie dwusiecznej , np z tablic
\(\displaystyle{ \frac{\left| 2x-y-255\right| }{ \sqrt{2^2+1} } = \frac{\left| 0,25x-y+110\right| }{ \sqrt{(0,25)^2+1} }}\)
Otrzymasz 2 proste, bo sa dwie dwusieczne, musisz wybrać tę leżącą wewnątrz kąta \(\displaystyle{ AWB}\)
W tym równaniu zamieniasz x i y na a i b, bo środek okręgu S(a,b) leży na tej dwusiecznej.
współrzędne punktów styczności, leżących na danych prostych \(\displaystyle{ A(x, 2x-255)}\), \(\displaystyle{ B(x, 0,25x+110)}\)
Pozostale równania
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(2x-255-b)^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(0,25x+110-b)^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ (90-a)^2+(147-b)^2=r^2}\)
Mamy układ 4 równań z 4 niewiadomymi
\(\displaystyle{ \frac{\left| 2x-y-255\right| }{ \sqrt{2^2+1} } = \frac{\left| 0,25x-y+110\right| }{ \sqrt{(0,25)^2+1} }}\)
Otrzymasz 2 proste, bo sa dwie dwusieczne, musisz wybrać tę leżącą wewnątrz kąta \(\displaystyle{ AWB}\)
W tym równaniu zamieniasz x i y na a i b, bo środek okręgu S(a,b) leży na tej dwusiecznej.
współrzędne punktów styczności, leżących na danych prostych \(\displaystyle{ A(x, 2x-255)}\), \(\displaystyle{ B(x, 0,25x+110)}\)
Pozostale równania
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(2x-255-b)^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(0,25x+110-b)^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ (90-a)^2+(147-b)^2=r^2}\)
Mamy układ 4 równań z 4 niewiadomymi
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 20 paź 2011, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
Przy wyznaczaniu równania dwusiecznej wyzerowały mi się "y". Chyba coś poszło nie tak, mógłby ktoś skontrolować?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
Współczynnik kierunkowy dwusiecznej jest to średnia arytmetyczna obu współczynników danych.
-
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
Punkt styczności dwóch prostych z okręgiem
Hm...jakoś nie jestem o tym przekonana...z równania dwusiecznej wynika całkiem co innego.Kartezjusz pisze:Współczynnik kierunkowy dwusiecznej jest to średnia arytmetyczna obu współczynników danych.
Jeżeli weźmiemy proste \(\displaystyle{ y=3x}\) i \(\displaystyle{ y=x}\) to wsp jednej z dwusiecznych byłby \(\displaystyle{ m=2}\).
Nie zgadza się to ani z równaniem dwusiecznej, ani z rysunkiem.