Punkt przecięcia dwóch prostych

[edzia96]

Nie wiem gdzie mam błąd w obliczeniach:

Dla jakich wartości parametru a proste \(\displaystyle{ 3x+ay+1=0}\) i \(\displaystyle{ ax+3y-1=0}\) mają jeden punkt wspólny należący do drugiej ćwiartki układu współrzędnych?

Założenia:
\(\displaystyle{ x<0}\);
\(\displaystyle{ y>0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x=-ay-1 \\ ax+3y-1=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=- \frac{1}{3}ay-\frac{1}{3} \\ a(- \frac{1}{3}ay-\frac{1}{3} )+3y-1=0 \end{cases}}\)

1.Wyznaczyłam y w 2 równaniu.
\(\displaystyle{ - \frac{1}{3}ay- \frac{1}{3}a+3y-1=0}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{ \frac{1}{3}a+1 }{3- \frac{1}{3}a^{2} }}\)

I sprawdziłam jakie a może być.
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{3}a+1 }{3- \frac{1}{3}a^{2} }>0}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{3}a+1)(3-\frac{1}{3}a^{2})>0}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{9}(a+3)^{2}(a-3)>0}\)
\(\displaystyle{ a \in (- \infty ;-3) \cup (-3;3)}\)

2.Podstawiłam y do pierwszego równania i wyznaczyłam x:
\(\displaystyle{ x=-\frac{1}{3}a(\frac{ \frac{1}{3}a+1 }{3- \frac{1}{3}a^{2} })-\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac{1}{3}*(\frac{\frac{1}{3}a^{2}+a-3-\frac{1}{3}a^{2}}{3- \frac{1}{3}a^{2}})}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac{1}{3}(\frac{a-3}{3-\frac{1}{3}a^{2}})}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{3}(\frac{a-3}{3-\frac{1}{3}a^{2}}<0}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{3}(a-3)(3--\frac{1}{3}a^{2})<0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}(a-3)^{2}(a+3)<0}\)
\(\displaystyle{ a \in (- \infty ;-3)}\)

z 1. i 2. \(\displaystyle{ a \in (- \infty ;-3)}\)

a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ a \in (- \infty ;-3) \cup (-3;3)}\)

[szachimat]

Pomyliłaś się przy wyznaczaniu "x".
Do punktu drugiego wszystko dobrze, ale miałabyś łatwiej gdyby "y" był zapisany prościej. Wyłącz w liczniku i w mianowniku przed nawias jedną trzecią, poskracaj i wyjdzie \(\displaystyle{ y= \frac{-1}{a-3}}\) (dla \(\displaystyle{ a \neq \pm 3}\)).
Wtedy "x" wyjdzie ładniejsze:
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{a-3}}\) (również dla \(\displaystyle{ a \neq \pm 3}\)).
I odpowiedź się zgodzi.

[kmmc]

nie wiem czemu, ale mi wychodzi:
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{3-a}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{1}{a-3}}\)

to jeszcze cos innego... kurcze, juz nie mam sil do tych parametrow...

edycja: zauważyłem, że \(\displaystyle{ y= \frac{-1}{a-3}}\) po wyciągnięciu \(\displaystyle{ -1}\), ale to i tak nie da mi wyniku

\(\displaystyle{ a \in (- \infty ,-3) \cup (-3,3)}\), bo z dziedziny wyciągnąłem \(\displaystyle{ 3}\), a nie \(\displaystyle{ -3}\)