Równanie Prostej2

[moss2]

Podaj równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=(1,-2)}\) i równoległej do prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ K=(4,-5)}\) i \(\displaystyle{ L=(-10,2)}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} -5=4a+b \\ 2=-10a+b \end{cases} \\
-5-2=4a-(-10a) \\
-7=4a+10a \\
-7=14a/:14 \\
a=-\frac{1}{2}\\
-5=4 \cdot ( -\frac{1}{2})+b \\
-5=-2+b \\
b=-3}\)

-- 17 mar 2015, o 19:53 --

Jak to dalej rozwiązać?

[kropka+]

Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy.

[moss2]

Czyli równanie powinno tak wyglądać?
\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2}x-3}\)

[szachimat]

Dobrze zrobiony rysunek da zaprzeczenie tej odpowiedzi.

[moss2]

Dlaczego dla \(\displaystyle{ b}\) jest \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}}\)?

-- 17 mar 2015, o 20:47 --

Skąd to się wzięło \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}}\)?

[kropka+]

Podstaw współrzędne \(\displaystyle{ P}\) do równania \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2}x+b}\) i wylicz \(\displaystyle{ b}\)

[szachimat]

Czyli równanie powinno tak wyglądać?
\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2}x-3}\)

Przecież punkt P nie leży na naszej prostej, a zatem "b" nie może wyjść takie samo jak w prostej.

[Elayne]

Można to zadanie rozwiązać korzystając ze wzoru. Prosta przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ K=(4,-5)}\) i \(\displaystyle{ L=(-10,2)}\) ma równanie:

\(\displaystyle{ (-10-4)(y-(-5))=(2-(-5))(x-4)\\
-14 \cdot (5 + y)=7 \cdot (-4 + x)\\
-2 \cdot (5 + y)=-4 + x\\
-10-2y=x-4\\
-2y-x=6}\)

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}}\)
Wiemy że prosta przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P=(1,-2)}\) - podstawiamy \(\displaystyle{ x,y}\) do \(\displaystyle{ -2y-x=b}\)
\(\displaystyle{ (-2)\cdot(-2)-1=b\\
4-1=b\\
b=3}\)

Prosta równoległa:

\(\displaystyle{ -2y-x=3\\
\\
y=-\frac{x}{2}-\frac{3}{2}}\)

[moss2]

Ten zapis też jest poprawny?

\(\displaystyle{ \begin{cases} -5=4a+b \\ 2=-10a+b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -7=14a/:14}\)

\(\displaystyle{ a=-\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-\frac{1}{2} \\ b=-3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x-3}\)

\(\displaystyle{ -2=-\frac{1}{2}+b}\)

\(\displaystyle{ b=-\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\)

[kropka+]

tak