Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych.

[Dargi]

Punkt \(\displaystyle{ C=(1;2)}\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, którego długość \(\displaystyle{ |AC|=|BC|=5}\). Bok \(\displaystyle{ AB}\) Zawiera się w prostej \(\displaystyle{ 2x+y+1=0}\) Wyznacz A i B.

[Zlodiej]

Najlepiej zrobić sobie rysunek i wypisać wszystko co wiemy:

Niech \(\displaystyle{ B=(b_1;b_2),\,C=(c_1;c_2)}\)

Wiemy, że:

\(\displaystyle{ A=(1;2)\\\sqrt{(b_1-1)^2+(b_2-2)^2}=\sqrt{(c_1-1)^2+(c_2-2)^2}=5\\b_2=-2b_1-1\\c_2=-2c_1-1}\)

Zajmujemy się równaniem:

\(\displaystyle{ \sqrt{(c_1-1)^2+(c_2-2)^2}=5}\)

Podstawiamy z równania prostej, podnosimy do kwadratu stronami i mamy:

\(\displaystyle{ (c_1-1)^2+(-2c_1-3)^2=25\\5c_1^2+10c_1-15=0\\c_1^2+2c_1-3=0}\)

Proste równanie kwadratowe z wynikiem:

\(\displaystyle{ C=(-3;5) C=(1;-3)}\)

Ponieważ B rozwiązuje się analogicznie rozwiązaniem zadania jest:

\(\displaystyle{ C=(-3;5), B=(1;-3) B=(-3;5), C=(1;-3)}\)