Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych.
- Dargi
- Użytkownik
- Posty: 1228
- Rejestracja: 17 lis 2005, o 18:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorze
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 253 razy
Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych.
Punkt \(\displaystyle{ C=(1;2)}\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, którego długość \(\displaystyle{ |AC|=|BC|=5}\). Bok \(\displaystyle{ AB}\) Zawiera się w prostej \(\displaystyle{ 2x+y+1=0}\) Wyznacz A i B.
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych.
Najlepiej zrobić sobie rysunek i wypisać wszystko co wiemy:
Niech \(\displaystyle{ B=(b_1;b_2),\,C=(c_1;c_2)}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ A=(1;2)\\\sqrt{(b_1-1)^2+(b_2-2)^2}=\sqrt{(c_1-1)^2+(c_2-2)^2}=5\\b_2=-2b_1-1\\c_2=-2c_1-1}\)
Zajmujemy się równaniem:
\(\displaystyle{ \sqrt{(c_1-1)^2+(c_2-2)^2}=5}\)
Podstawiamy z równania prostej, podnosimy do kwadratu stronami i mamy:
\(\displaystyle{ (c_1-1)^2+(-2c_1-3)^2=25\\5c_1^2+10c_1-15=0\\c_1^2+2c_1-3=0}\)
Proste równanie kwadratowe z wynikiem:
\(\displaystyle{ C=(-3;5) C=(1;-3)}\)
Ponieważ B rozwiązuje się analogicznie rozwiązaniem zadania jest:
\(\displaystyle{ C=(-3;5), B=(1;-3) B=(-3;5), C=(1;-3)}\)
Niech \(\displaystyle{ B=(b_1;b_2),\,C=(c_1;c_2)}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ A=(1;2)\\\sqrt{(b_1-1)^2+(b_2-2)^2}=\sqrt{(c_1-1)^2+(c_2-2)^2}=5\\b_2=-2b_1-1\\c_2=-2c_1-1}\)
Zajmujemy się równaniem:
\(\displaystyle{ \sqrt{(c_1-1)^2+(c_2-2)^2}=5}\)
Podstawiamy z równania prostej, podnosimy do kwadratu stronami i mamy:
\(\displaystyle{ (c_1-1)^2+(-2c_1-3)^2=25\\5c_1^2+10c_1-15=0\\c_1^2+2c_1-3=0}\)
Proste równanie kwadratowe z wynikiem:
\(\displaystyle{ C=(-3;5) C=(1;-3)}\)
Ponieważ B rozwiązuje się analogicznie rozwiązaniem zadania jest:
\(\displaystyle{ C=(-3;5), B=(1;-3) B=(-3;5), C=(1;-3)}\)