rzut krzywej na płaszczyznę
-
- Użytkownik
- Posty: 311
- Rejestracja: 5 gru 2010, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 34 razy
rzut krzywej na płaszczyznę
Witam, mama takie pytanie chodzi o to, czy będzie to elipsa?
Mianowicie rozważmy w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbf{R}^3}\) dwa walce:
\(\displaystyle{ w_1 = \{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 :y^2 +z^2 =81 ,-8<x<8\}}\);
\(\displaystyle{ w_2 = \{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 :x^2 +y^2 =36 ,0<z<10\}}\).
Weźmy pod uwagę linię przecięcia się tych walców, a następnie płat powierzchni walca \(\displaystyle{ w_1}\) ograniczony tą linią. Teraz z góry przepraszam za może "nie fachowe" nazewnictwo, ale jakby ten płat powierzchni rozwinąć ("przyklejać") do płaszczyzny równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy,}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0,0,9)}\), to czy w wyniku takiego "przyklejania" , "prostowania" tego płata do tej płaszczyzny otrzymamy elipsę zawartą w tej płaszczyźnie?
z góry dzięki za podpowiedzi
Mianowicie rozważmy w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbf{R}^3}\) dwa walce:
\(\displaystyle{ w_1 = \{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 :y^2 +z^2 =81 ,-8<x<8\}}\);
\(\displaystyle{ w_2 = \{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 :x^2 +y^2 =36 ,0<z<10\}}\).
Weźmy pod uwagę linię przecięcia się tych walców, a następnie płat powierzchni walca \(\displaystyle{ w_1}\) ograniczony tą linią. Teraz z góry przepraszam za może "nie fachowe" nazewnictwo, ale jakby ten płat powierzchni rozwinąć ("przyklejać") do płaszczyzny równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy,}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0,0,9)}\), to czy w wyniku takiego "przyklejania" , "prostowania" tego płata do tej płaszczyzny otrzymamy elipsę zawartą w tej płaszczyźnie?
z góry dzięki za podpowiedzi
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
rzut krzywej na płaszczyznę
Dobrze to nazwałeś. To jest rozwinięcie powierzchni na płaszczyźnie. Zaznaczam, że nie każdą powierzchnię można tak rozwinąć.
Nie będzie to elipsa.
Nie będzie to elipsa.
-
- Użytkownik
- Posty: 311
- Rejestracja: 5 gru 2010, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 34 razy
rzut krzywej na płaszczyznę
a mam jeszcze pytanie - czy można jakoś wyznaczyć równanie np. w postaci parametrycznej, czy choćby uwikłanej tej krzywej płaskiej???
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
rzut krzywej na płaszczyznę
Równanie krzywej przenikania walców będzie następujące:
- \(\displaystyle{ \begin{cases}x=6\cos\phi \\ y=6\sin\phi \\ z^2=81-36\sin^2\phi\end{cases}}\)
gdzie: \(\displaystyle{ \phi\in\left(0;2\pi\right)}\)
- \(\displaystyle{ \begin{cases}x=6\cos\phi \\ y=9\arcsin\left(\frac{6\sin\phi}{9}\right)\end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 9 mar 2015, o 20:27 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
rzut krzywej na płaszczyznę
Coś mnie rozproszyło (tak jest, gdy się za dużo rzeczy robi na raz) i napisałem bzdurę. Już poprawiłem.
Podstawiłem \(\displaystyle{ y=6\sin\phi}\) do \(\displaystyle{ y^2+z^2=81}\)
Podstawiłem \(\displaystyle{ y=6\sin\phi}\) do \(\displaystyle{ y^2+z^2=81}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
rzut krzywej na płaszczyznę
Nowe \(\displaystyle{ y}\) jest długością łuku o promieniu \(\displaystyle{ 9}\) dla starego \(\displaystyle{ y}\) (długość łuku na walcu \(\displaystyle{ y^2+z^2=81}\) pomiędzy punktami \(\displaystyle{ (0;9)}\) i \(\displaystyle{ (y;z)}\)).
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
rzut krzywej na płaszczyznę
Niestety nie mogę Ci nic polecić. Szukaj hasła „rozwinięcia powierzchni”.
Twój problem był na tyle prosty (po przemyśleniu, bo na początku sądziłem inaczej), że mogłem samemu wymyślić rozwiązanie.
Twój problem był na tyle prosty (po przemyśleniu, bo na początku sądziłem inaczej), że mogłem samemu wymyślić rozwiązanie.