Jak wyznaczyć punkty ekstremalne stożka \(\displaystyle{ S= left{ tx: ; x in A, ; t in [0, + infty)
ight}}\) w przestrzeni liniowej, gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem wypukłym.
-- 22 lut 2015, o 21:50 --
Można to zrobić tak?
Bo wykazałem fakt, że jeśli \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) to \(\displaystyle{ Ext W = \emptyset}\) albo \(\displaystyle{ Ext W = \left\{ 0 \right\}}\), ale \(\displaystyle{ S}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), więc \(\displaystyle{ Ext S = \emptyset}\) albo \(\displaystyle{ Ext S = \left\{ 0 \right\}}\).
Stożek i punkty ekstremalne
-
szw1710
Stożek i punkty ekstremalne
\(\displaystyle{ S}\) nie jest podprzestrzenią liniową. Np. dla \(\displaystyle{ A=\{1\}\subset\RR}\) mamy \(\displaystyle{ S=[0,infty)}\) i bynajmniej nie jest to podprzestrzeń liniowa.
Zbiór punktów ekstremalnych bardzo zależy od zbioru \(\displaystyle{ A}\). Np. jeśli \(\displaystyle{ A=\{1\}}\), to oczwiście punktem ekstremalnym zbioru \(\displaystyle{ S}\) jest \(\displaystyle{ \{0\}}\). Jeśli \(\displaystyle{ A=[-1,1]}\), to \(\displaystyle{ S=\RR}\), więc brak punktów ekstremalnych. W \(\displaystyle{ \RR}\) to będą jedyne możliwości, bo jedyne zbiory wypukłe to punkty i przedziały, toteż \(\displaystyle{ S=[0,infty)}\) lub \(\displaystyle{ S=(-\infty,0]}\) lub \(\displaystyle{ S=\RR}\) lub \(\displaystyle{ S=\{0\}}\).
Jednak i tak optowałbym za Twoją propozycją: albo \(\displaystyle{ \{0\}}\), albo brak. Jesteśmy teraz w dowolnej przestrzeni liniowej. Jeśli \(\displaystyle{ 0\ne x\in S}\), to \(\displaystyle{ x=ta}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in A}\) oraz \(\displaystyle{ t>0}\). Więc punkt \(\displaystyle{ x}\) leży na pewnym promieniu i łatwo wykazać, że daje się zapisać kombinacją wypukłą różnych od niego punktów tego promienia. Więc pozostaje tylko zero. Masz dwie możliwości: istnieje punkt ekstremalny i wtedy działa moje rozumowanie, bo już musi być zerem, albo nie istnieje i koniec dowodu.
Nie wiem czy się nie zagalopowałem. To rozumowanie działa na pewno w przestrzeni unormowanej.
Zbiór punktów ekstremalnych bardzo zależy od zbioru \(\displaystyle{ A}\). Np. jeśli \(\displaystyle{ A=\{1\}}\), to oczwiście punktem ekstremalnym zbioru \(\displaystyle{ S}\) jest \(\displaystyle{ \{0\}}\). Jeśli \(\displaystyle{ A=[-1,1]}\), to \(\displaystyle{ S=\RR}\), więc brak punktów ekstremalnych. W \(\displaystyle{ \RR}\) to będą jedyne możliwości, bo jedyne zbiory wypukłe to punkty i przedziały, toteż \(\displaystyle{ S=[0,infty)}\) lub \(\displaystyle{ S=(-\infty,0]}\) lub \(\displaystyle{ S=\RR}\) lub \(\displaystyle{ S=\{0\}}\).
Jednak i tak optowałbym za Twoją propozycją: albo \(\displaystyle{ \{0\}}\), albo brak. Jesteśmy teraz w dowolnej przestrzeni liniowej. Jeśli \(\displaystyle{ 0\ne x\in S}\), to \(\displaystyle{ x=ta}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in A}\) oraz \(\displaystyle{ t>0}\). Więc punkt \(\displaystyle{ x}\) leży na pewnym promieniu i łatwo wykazać, że daje się zapisać kombinacją wypukłą różnych od niego punktów tego promienia. Więc pozostaje tylko zero. Masz dwie możliwości: istnieje punkt ekstremalny i wtedy działa moje rozumowanie, bo już musi być zerem, albo nie istnieje i koniec dowodu.
Nie wiem czy się nie zagalopowałem. To rozumowanie działa na pewno w przestrzeni unormowanej.