Kwadrat - znalezienie dwóch pozostałych punktów.

[sympek]

Cześć.
Nie wiem jak poradzić sobie z tym zadaniem:
Punkty \(\displaystyle{ A=\left( 2,\right3)}\) i \(\displaystyle{ B=\left( 4,\right-1)}\) są dwoma kolejnymi wierzchołkami kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu.

Czyli szukamy: \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\)

Wiem tyle, że mogę wyznaczyć równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\) poprzez podstawienie do wzoru \(\displaystyle{ y=ax + b}\) współrzędnych dwóch punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\): \(\displaystyle{ y=-2x +7}\)
Prosta \(\displaystyle{ DC}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ AB}\), jej równanie będzie wyglądało tak: \(\displaystyle{ y=-2x+ b_{1}}\)
prosta \(\displaystyle{ BC}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ AB}\), więc współczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ BC}\) wynosi: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Zatem równanie prostej \(\displaystyle{ BC}\) to \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x + b_{2}}\)
analogicznie prosta \(\displaystyle{ AD}\) będzie miała równanie \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x + b_{3}}\)

Co dalej?

[Ania221]

wykorzystaj wzór na odległość punktu od prostej, czyli punktu \(\displaystyle{ C}\) od \(\displaystyle{ AB}\)

[macik1423]

\(\displaystyle{ b_{2}}\) możesz sobie policzyć wykorzystując fakt że prosta \(\displaystyle{ BC}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ B}\). Wtedy punkt \(\displaystyle{ C}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ C(x, \frac{1}{2}x+b_{2})}\). Teraz można policzyć długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\) i użyć do policzenia długość odcinka \(\displaystyle{ BC}\) wtedy znajdzie się współrzędną \(\displaystyle{ x}\) punktu \(\displaystyle{ C}\).

[yorgin]

Straszna dłubanina...

Weźmy wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{BA}=[-2,4]}\) (zapis wierszowy). Wektor do niego prostopadły i o tej samej długości to \(\displaystyle{ [4,2]}\) lub \(\displaystyle{ [-4,-2]}\). Wystarczy teraz o jeden z tych wektorów poprzesuwać punkty \(\displaystyle{ A, B}\) by dostać brakujące dwa wierzchołki.

Edycja: pomyłka przy przepisywaniu współrzędnych.

[sympek]

Nie wpadłem na to żeby rozwiązać to zadanie wykorzystując własności wektorów

Pomysł yorgin wydaje się najprostszy.
Wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{BA}=[-2,4]}\)
Wektory prostopadłe i o tej samej długości to: \(\displaystyle{ [4,2]}\) i \(\displaystyle{ [-4,-2]}\)

Czyli będą dwa rozwiązania?

po przesunięciu o wektor \(\displaystyle{ [4,2]}\):
\(\displaystyle{ C=(4-4, -1 -2)}\) czyli \(\displaystyle{ C=(0, -3)}\)
\(\displaystyle{ D=(2-4, 3-2)}\) czyli \(\displaystyle{ D=(-2, 1)}\)

po przesunięciu o wektor \(\displaystyle{ [-4,-2]}\):
\(\displaystyle{ C^{'}=(4-(-4), -1-(-2) )}\) czyli \(\displaystyle{ C^{'}=(8, 1)}\)
\(\displaystyle{ D^{'}=(2-(-4), 3-(-2))}\) czyli \(\displaystyle{ D^{'}=(6, 5)}\)

Bardzo dziękuję za pomoc!

[yorgin]

Tak, dwa rozwiązania, gdyż nie wiadomo, w którą stronę numerowane są wierzchołki.

Ponadto, gdy przesuwasz punkty o wektor \(\displaystyle{ [a,b]}\), to do współrzędnych punktu dodajesz współrzędne wektora, tj pierwszy zapis to u Ciebie przesunięcie o \(\displaystyle{ [-4,-2]}\). Na odwrót