Polecenie, aby wyznaczyć środek i promień okręgu powstałego z przecięcia sfery
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-5)^2+(z+1)^2=100}\)
płaszczyzną
\(\displaystyle{ 2x-3y+6z-30=0}\)
Zapisałem płaszczyznę parametrycznie, podstawiłem do równania sfery, więc teoretycznie powinien wychodzić okrąg, ale mam problem z jedną rzeczą.
Otóż przy przyjęciu \(\displaystyle{ x=3t}\) i \(\displaystyle{ y=2s}\) a następnie wstawieniu o którym mowiłem wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ 10t^2-18t+5s^2-8s-2st-38=0}\)
Jest jakiś sprytny sposób aby uporządkować to równanie? Problemów przysparza oczywiście to \(\displaystyle{ -2st}\)
Czy może jest na to całe zadanie lepszy sposób?
-- 9 lut 2015, o 23:57 --
Ok chyba rozgryzłem to. TERAZ tylko prośba niech ktoś to sprawdzi i potwierdzi czy dobrze myślę ; )
Skoro nie pytają o równanie tego okręgu, to wystarczy: poprowadzić prostą prostopadłą do tej płaszczyzny i przechodzącej przez środek sfery. Punkt przebicia płaszczyzny tą prostą to środek okręgu. A teraz wystarczy poprowadzić przez niego jakąkolwiek prostą w tej płaszczyźnie i punkty przecięcia jej i sfery dadzą nam promień.
Równanie okręgu
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Równanie okręgu
Wektor normalny do tej płaszczyzny to \(\displaystyle{ \lambda [2,-3,6]}\). Przesuń środek kuli o ten wektor i sprawdź, kiedy wyląduje na płaszczyźnie: nowy środek to \(\displaystyle{ [1 + 2\lambda, 5-3\lambda, -1 + 6 \lambda]}\), więc musi być \(\displaystyle{ 2+4\lambda-15+9 \lambda -6+36\lambda - 30 = 0}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ 39 \lambda = 7}\). Masz więc środek... Promień koła? Wyliczysz z tw. Pitagorasa, jeżeli uprzednio odkryjesz długość wektora (odcinek łączący środek koła ze środkiem kuli).