Prosta przech. przez punkt, równol. do pł i przecinająca pr.

[vicktex]

Hej, zupełnie nie mam pojęcia jak rozwiązać takie zadanie:
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(1,0,7)}\) oraz równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi:3x-y+2z-15=0}\), tak aby przecinała prostą:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=1+4t\\y=3+2t\\z=t \end{cases}}\)

Z góry dziękuję za pomoc

[chris_f]

Chyba coś zjadło mój post.
Skoro szukana prosta ma być równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), to musi leżeć w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi_1}\) równoległej do danej. Równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_1}\) będzie miało zatem postać
\(\displaystyle{ \pi_1: 3x-y+2z+D=0}\).
Płaszczyzna ta musi przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ A}\), a zatem
\(\displaystyle{ 3+14+D=0\Rightarrow D=-17}\).
A zatem \(\displaystyle{ \pi_1:\ 3x-y+2z-17=0}\)
Znajdujemy punkt \(\displaystyle{ P}\) wspólny prostej \(\displaystyle{ l}\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi_1}\)
\(\displaystyle{ 3(1+4t)-(3+2t)+2t-17=0}\)
\(\displaystyle{ 12t-17=0\Rightarrow t=\frac{17}{12}}\)
Mamy zatem współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=1+4\cdot\frac{17}{12}=\frac{20}{3}\\
y=3+2\cdot\frac{17}{12}=\frac{35}{6}\\
z=\frac{17}{12}\end{cases}}\)
I teraz aby napisać równanie szukanej prostej wystarczy napisać równanie prostej \(\displaystyle{ AP}\).
Mamy
\(\displaystyle{ \vec{AP}=\left[\frac{17}{3},\frac{35}{6},-\frac{67}{12}\right]}\).
Ostatecznie szukana prosta ma równanie
\(\displaystyle{ k:\ \begin{cases}
x=1+\frac{17}{3}t\\ y=\frac{35}{6}t\\ z=7-\frac{67}{12}\end{cases}}\)