punkt na płaszczyźnie położony najbliżej danego punktu

[BeHappy]

.. punktu. Dałby ktoś zrobić rysunek i opisać kroki rozwiązania tego, bo wiem jak to rozwiązać, ale nie ogarniam dlaczego akurat tak i jak to narysować.

Tj. przykład:

Płaszczyzna \(\displaystyle{ 3x-y+5z-21=0}\) najbliżej \(\displaystyle{ P_{0}=(1,2,-3)}\)

I bierzemy wektor normalny płaszczyzny tj: \(\displaystyle{ [3,-1,5]}\)

I teraz nie ogarniam co się dzieje, piszemy równanie prostej przechodzącej przez ten punkt i mający punkt wspólny z płaszczyzną czy co??


Tj: \(\displaystyle{ \begin{cases} 3t+1 \\ -t+2 \\ 5t-3 \end{cases}}\)

Kolejny krok to obliczenie chyba tego punktu wspólnego prostej i płaszczyzny:

Tj: \(\displaystyle{ 3(3t+1)-(-t+2)+5(5t-3)-21=0 \Rightarrow t=1}\)

Kolejny zapisujemy odpowiedź obliczając współrzędne punktu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4 \\ y=1 \\ z=2 \end{cases}}\)

Ale nie potrafię zrozumieć dlaczego akurat bierzemy wektor normalny, który jest prostopadły do płaszczyzny? Przecież np. gdy ten punkt byłby tuż za płaszczyzną (za jej krawędzią) to najbliżej chyba do tego punktu by miał jakiś punkt leżący na krawędzi tej płaszczyzny. Mógłby ktoś zrobić rysunek?

[buttonik]

I teraz nie ogarniam co się dzieje, piszemy równanie prostej przechodzącej przez ten punkt i mający punkt wspólny z płaszczyzną czy co??

Piszemy równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez \(\displaystyle{ P_0}\)

Ale nie potrafię zrozumieć dlaczego akurat bierzemy wektor normalny, który jest prostopadły do płaszczyzny?

Bo najmniejsza odległość zawsze jest pod kątem prostym.

A to co tutaj wykonujesz to nic innego jak rzut punktu na płaszczyznę

[BeHappy]

I teraz nie ogarniam co się dzieje, piszemy równanie prostej przechodzącej przez ten punkt i mający punkt wspólny z płaszczyzną czy co??

Piszemy równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez \(\displaystyle{ P_0}\)

Ale nie potrafię zrozumieć dlaczego akurat bierzemy wektor normalny, który jest prostopadły do płaszczyzny?

Bo najmniejsza odległość zawsze jest pod kątem prostym.

A to co tutaj wykonujesz to nic innego jak rzut punktu na płaszczyznę

To dobrze zrobiłem te zadanie czy nie xD?

[buttonik]

Dobrze jest