Znajdź wszystkie punkty X dla których suma kwadratów odległości \(\displaystyle{ |AX|}\) i \(\displaystyle{ |BX|}\) wynosi \(\displaystyle{ 3}\). Rozpoznaj co to za figura jeśli \(\displaystyle{ A=(1,1) B=(−1,−1)}\)
-- 7 lut 2015, o 20:41 --
wychodzi mi, że \(\displaystyle{ 2 x^{2} + 2 y^{2} = -1}\)
a przecież to sprzeczność
odległość punktów na płaszczyźnie
-
natzdw
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 20 gru 2014, o 10:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
odległość punktów na płaszczyźnie
hmmm \(\displaystyle{ B(-1,-1)}\)
nie wiem dlaczego wcześniej te minusy się nie dodały
nie wiem dlaczego wcześniej te minusy się nie dodały
-
jarek4700
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
odległość punktów na płaszczyźnie
Wychodzi mi na to że jest to po prostu okrąg.
\(\displaystyle{ |AX|^{2} + |BX|^{2} = 3\\ \\
\left(\sqrt{(x_{A} - x_{X})^{2} + (y_{A}-y_{X})^{2}}\right)^{2} + \left(\sqrt{(x_{B} - x_{X})^{2} + (y_{B}-y_{X})^{2}}\right)^{2} = 3\\ \\
(x_{A} - x_{X})^{2} + (x_{B} - x_{X})^{2} + (y_{A}-y_{X})^{2} + (y_{B}-y_{X})^{2} = 3\\ \\}\)
Teraz można w innej postaci przedstawić to: \(\displaystyle{ (x_{A} - x_{X})^{2} + (x_{B} - x_{X})^{2}}\)
Wymnażając wszystko na pałę jest:
\(\displaystyle{ x_{A}^{2}-2x_{A}x_{X}+x_{X}^{2} + x_{B}^{2}-2x_{B}x_{X}+x_{X}^{2} = \\ \\x_{A}^{2} + x_{B}^{2} - 2(x_{A}+x_{B})x_{X} + 2x_{X}^{2} = \\ \\ =\frac{1}{2}x_{A}^{2} + \frac{1}{2}x_{B}^{2} - x_{A}x_{B} + 2\left[\frac{1}{2}(x_{A}+x_{B})-x_{X}\right]^{2}}\)
Tak samo można zrobić dla tego wyrażenia z \(\displaystyle{ y_{A},y_{B},y_{X}}\). Ostatecznie równanie przyjmuje postać równania okręgu:
\(\displaystyle{ \left[\frac{1}{2}(x_{A}+x_{B})-x_{X}\right]^{2} + \left[\frac{1}{2}(y_{A}+y_{B})-y_{X}\right]^{2} = \frac{1}{2}\left[3 - \left(\frac{1}{2}x_{A}^{2} + \frac{1}{2}x_{B}^{2} - x_{A}x_{B}\right) -\left(\frac{1}{2}y_{A}^{2} + \frac{1}{2}y_{B}^{2} - y_{A}y_{B}\right)\right]}\)
Oczywiście to coś po prawej stronie musiałoby być większe od zera (bo jest to \(\displaystyle{ r^{2}}\))
No i właśnie dla tych danych wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left(3-2-2\right) < 0}\)
Ale przynajmniej widać teraz jaka to figura, gdzie ma środek i jaki promień.
\(\displaystyle{ |AX|^{2} + |BX|^{2} = 3\\ \\
\left(\sqrt{(x_{A} - x_{X})^{2} + (y_{A}-y_{X})^{2}}\right)^{2} + \left(\sqrt{(x_{B} - x_{X})^{2} + (y_{B}-y_{X})^{2}}\right)^{2} = 3\\ \\
(x_{A} - x_{X})^{2} + (x_{B} - x_{X})^{2} + (y_{A}-y_{X})^{2} + (y_{B}-y_{X})^{2} = 3\\ \\}\)
Teraz można w innej postaci przedstawić to: \(\displaystyle{ (x_{A} - x_{X})^{2} + (x_{B} - x_{X})^{2}}\)
Wymnażając wszystko na pałę jest:
\(\displaystyle{ x_{A}^{2}-2x_{A}x_{X}+x_{X}^{2} + x_{B}^{2}-2x_{B}x_{X}+x_{X}^{2} = \\ \\x_{A}^{2} + x_{B}^{2} - 2(x_{A}+x_{B})x_{X} + 2x_{X}^{2} = \\ \\ =\frac{1}{2}x_{A}^{2} + \frac{1}{2}x_{B}^{2} - x_{A}x_{B} + 2\left[\frac{1}{2}(x_{A}+x_{B})-x_{X}\right]^{2}}\)
Tak samo można zrobić dla tego wyrażenia z \(\displaystyle{ y_{A},y_{B},y_{X}}\). Ostatecznie równanie przyjmuje postać równania okręgu:
\(\displaystyle{ \left[\frac{1}{2}(x_{A}+x_{B})-x_{X}\right]^{2} + \left[\frac{1}{2}(y_{A}+y_{B})-y_{X}\right]^{2} = \frac{1}{2}\left[3 - \left(\frac{1}{2}x_{A}^{2} + \frac{1}{2}x_{B}^{2} - x_{A}x_{B}\right) -\left(\frac{1}{2}y_{A}^{2} + \frac{1}{2}y_{B}^{2} - y_{A}y_{B}\right)\right]}\)
Oczywiście to coś po prawej stronie musiałoby być większe od zera (bo jest to \(\displaystyle{ r^{2}}\))
No i właśnie dla tych danych wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left(3-2-2\right) < 0}\)
Ale przynajmniej widać teraz jaka to figura, gdzie ma środek i jaki promień.