Mieszanka analityczna.

[mich12]

Hej, z góry dzięki za pomoc z tymi zadaniami

zad. 1.
Wyznacz równanie stycznych do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} -6x +y ^{2} -2y +5=0}\):
b) równoległych do prostej \(\displaystyle{ x-2y=0}\)
c) prostopadłych do prostej \(\displaystyle{ 4x - 2y=1}\)

zad. 2.
Wyznacz parametr \(\displaystyle{ a}\) dla którego dana prosta jest styczna do okręgu określonego równaniem \(\displaystyle{ x ^{2} + 4x + y ^{2}-6y+4=0}\)
a) \(\displaystyle{ x+y+a=0}\)

zad. 3.
Punkty \(\displaystyle{ P,Q,R}\) są odpowiednio środkami boków \(\displaystyle{ AB,BC i CD}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\). Wyznacz współrzędne wierzchołków równoległoboku, jeżeli:
a) \(\displaystyle{ \vec{AB}= [9;5], Q(8;4), R( \frac{9}{2}; \frac{11}{2})}\)
b) \(\displaystyle{ P(4;-2), Q( \frac{11}{2};0), R(1;4)}\)

zad. 4.
Prosta \(\displaystyle{ l}\) jest styczna do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2}= 169}\) w punkcie \(\displaystyle{ (12;5)}\). Prosta \(\displaystyle{ l}\) przecina oś \(\displaystyle{ OY}\) w punkcie?

zad. 5.
Prosta \(\displaystyle{ y=-x+b}\) jest styczna do okręgu danego równaniem \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=10}\). Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ \left| b\right|}\).

zad. 6.
Okręgi \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =9}\) i \(\displaystyle{ (x-3) ^{2} +(y-3) ^{2}=4}\) przecinają się w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) od początku układu współrzędnych.

[jarek4700]

Te zadania z prostą styczną do okręgu sprowadzają się do tego samego.
Masz prostą \(\displaystyle{ y=x+b}\) albo \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{4}x+b}\) albo \(\displaystyle{ y=-x-a}\).

Wstawiasz to do równania okręgu. Powstaje równianie kwadratowe z parametrem \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\) i trzeba zobaczyć kiedy jest jedno rozwiązanie, bo tylko wtedy prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny.

[szachimat]

Ad 1
Do równania stycznej "y=ax+b" wstawiamy współczynnik "a=?" i podstawiamy za "y" naszą kombinację do równania okręgu. Otrzymujemy równanie kwadratowe z parametrem "b". Aby był jeden punkt wspólny prostej i okręgu, to delta z tego równania musi być równa zero (a to da nam "b")-- 6 lut 2015, o 20:12 --Ad 2
Podobnie jak w 1 - podstawiamy "y" do równania okręgu i wyznaczamy z delty = 0 wartość "a"

[mich12]

Dzięki wielkie ! A czy ktoś mógłby pomóc z resztą zadań?

[szachimat]

Ad 3a
Zrób, na razie bez układu współrzędnych, rysunek dowolnego równoległoboku ABCD i zaznacz punkty Q i R
(dla wygody nie będę nad dwiema dużymi literami pisał strzałek, ale będą to wektory)

Krok 1
DR = 1/2AB D(x;y) R(9/2;11/2)
[9/2-x;11/2-y]=1/2[9;5]
9/2-x=9/2, czyli x=0 i 11/2-y=5/2, czyli y=3. A zatem: D(0;3)

Krok 2
DC=AB D(0;3) C(x;y)
[x-0;y-3]=[9;5], a stąd wyjdzie: C(9;8)

Krok 3
CQ=QB C(9;8) Q(8;4) B(x;y)
[8-9;4-8]=[x-8;y-4], a stąd wyjdzie: B(7;0)

Krok 4
AB=[9;5] A(x;y) B(7;0)
[7-x;0-y]=[9;5], po wyliczeniu: A(-2;-5)

A teraz zrób rysunek w układzie współrzędnych i sprawdź czy wszystko się zgadza

[jarek4700]

Z tym równoległobokiem to zapisz wektorowo: \(\displaystyle{ \vec{AB} = \vec{DC}}\)

Teraz wiesz że \(\displaystyle{ \vec{DR} = \vec{RC} = \frac{1}{2}\vec{DC}}\) co pozwala wyznaczyć współrzędne wierzchołków \(\displaystyle{ D,C}\)

Jak masz już \(\displaystyle{ C}\) to policz wektor \(\displaystyle{ \vec{QC}}\) i wtedy \(\displaystyle{ \vec{BC} = 2\vec{QC}}\) co pozwala obliczyć wierzchołek \(\displaystyle{ B}\)

Jak masz \(\displaystyle{ B}\) i znasz współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) to możesz obliczyć \(\displaystyle{ A}\)

[szachimat]

Z zadaniem 3b myślę,że już sobie poradzisz (wybacz zbitkę jarek4700)-- 7 lut 2015, o 19:45 --Ad 4
Jeżeli mamy okrąg o środku S(a;b) i promieniu r, to jego równanie ma postać
\(\displaystyle{ (x-a) ^{2} + (y-b)^{2}= r^{2}}\), co można zapisać jako:
\(\displaystyle{ (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)= r^{2}}\)
Dlatego piszę taką postać, bo z niej łatwo zapamiętać wzór na równanie stycznej do okręgu w punkcie \(\displaystyle{ P(x _{0};y _{0})}\) jeżeli ten punkt leży na okręgu:
\(\displaystyle{ (x-a)(x _{0} -a)+(y-b)(y _{0} -b)= r^{2}}\)

Z treści zadania mamy:
\(\displaystyle{ (x-0)(12-0)+(y-0)(5-0)=169}\)
czyli: 12x+5y=169
stąd: \(\displaystyle{ y=- \frac{12}{5}x+ \frac{169}{5}}\), a z tego zapisu widać, że \(\displaystyle{ \frac{169}{5}}\) to właśnie miejsce przecięcia z osią OY.