Płaszczyzna, a punkt położony najbliżej układu współrzędnych

[BeHappy]

Jak się zabrać za to zadanie:

Na płaszczyźnie \(\displaystyle{ H:3x-y+5z-10=0}\) znaleźć punkt położony najbliżej początku układu współrzędnych?

[chris_f]

Bierzesz wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ [3,-1,5]}\), będzie on wektorem kierunkowym prostej prostopadłej do płaszczyzny. Chcemy, żeby ta prosta przechodziła przez początek układu współrzędnych, stąd jej równanie będzie miało postać
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=3t\\ y=-t\\ z=5t\end{cases}}\)
No i teraz szukamy punktu przecięcia się prostej i płaszczyzny:
\(\displaystyle{ 3(3t)-(-t)+5(5z)-10=0}\)
\(\displaystyle{ 35t=10}\)
\(\displaystyle{ t=\frac27}\)
I wyliczamy współrzędne szukanego punktu
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=\frac67\\ y=-\frac27\\ z=\frac{10}{7}\end{cases}}\)

[BeHappy]

Bierzesz wektor normalny płaszczyzny

Dałbyś radę zrobić rysunek:D?

[kruszewski]

Jest to promień sfery o środku w początku układu współrzędnych stycznej do zadanej płaszczyzny.

[BeHappy]

Jest to promień sfery o środku w początku układu współrzędnych stycznej do zadanej płaszczyzny.

A gdyby, trzeba było znaleźć punkt położony najbliżej punktu (2,2,2)

to prosta miałaby równanie:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=3t+2\\ y=-t+2\\ z=5t+2\end{cases}}\)

??

[chris_f]

Tak. Analogicznie z każdym innym punktem.