prosta prostopadla do plaszczyzny

[domdom95]

Witam
Mam problem z jednym zadaniem i nie mam pojęcia w jaki sposób sie do niego zabrać.

Dane są punkty \(\displaystyle{ A (1,2,0), B (-1,0,1), C(0,1,1)}\). Wyznacz płaszczyznę.przechodzącą przez te punkty i prostą prostopadla do tej płaszczyzny, a przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ D(1,1,1)}\). Wyliczylam iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ AB \times CB (1,1,0)}\), podstawilam do rownania prostej punkt \(\displaystyle{ A}\), co dało \(\displaystyle{ 1(x-1)+1(y-2)+0z=0}\), ca daje równanie prostej, nie płaszczyzny. Co zrobilam źle, ewentualnie co robić dalej w takiej sytuacji?

[chris_f]

Liczysz iloczyn wektorowy
\(\displaystyle{ \vec{AB}\times\vec{AC}=[-1,-1,0]}\).
Wektor ten możesz traktować jako wektor normalny szukanej płaszczyzny.
Piszemy to równanie
\(\displaystyle{ -x-y+D=0}\).
Wstawiamy choćby współrzędne punktu A i dostajemy
\(\displaystyle{ -1-2+D=0}\)
co ostatecznie daje nam równanie szukanej płaszczyzny
\(\displaystyle{ -x-y+3=0}\)
Równanie prostej znajdziesz z łatwością mając współrzędne punktu D i wektor kierunkowy prostej, którym będzie znaleziony wektor normalny płaszczyzny.

[domdom95]

Ale co jesli wspolrzedne punktu odnoszą się do 3wymiarów, a moja. płaszczyzna jest chyba prostą, a w każdym razie w wektorze kierunkowym jako trzecie stoi zero?-- 2 lut 2015, o 14:36 --Ale co jesli wspolrzedne punktu odnoszą się do 3wymiarów, a moja. płaszczyzna jest chyba prostą, a w każdym razie w wektorze kierunkowym jako trzecie stoi zero?

[chris_f]

Wcale nie dostałaś równania prostej, tylko równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y-3=0}\) (zresztą dokładnie takie samo jak ja).
Równanie płaszczyzny w przestrzeni ma postać
\(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\)
gdzie nie wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ A,B,C}\) są jednocześnie równe zeru.

W Twoim przypadku po prostu współczynnik \(\displaystyle{ C=0}\), co oznacza jedynie, że dostaliśmy równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy}\), albo ja kto woli, prostopadłej do osi \(\displaystyle{ Oz}\).
W przestrzeni jedno równanie liniowe zawsze opisuje płaszczyznę.

Aby otrzymać prostą należy mieć np. równania dwóch przecinających się płaszczyzn (postać krawędziowa) albo trzy równania z parametrem (postać parametryczna).

[domdom95]

Czyli jeżeli mam wektor normalny \(\displaystyle{ [-1;-1;0]}\) i punkt \(\displaystyle{ (1;1;1)}\),
To wystarczy podstawic to do postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ X=1-t\\
Y=1-t\\
Z=1}\)
I to pełne rozwiązanie?
Jak w takim razie wygladalaby postać kanoniczna, bo jesli mianownikami są współrzedne wektora normalnego, to jeden z nich musiałby być zerem?

[chris_f]

Odpowiadam po powrocie do domu z pracy, stąd opóźnienie.
To co napisałaś to jest równanie prostej prostopadłej do płaszczyzny.
Wykorzystałaś wektor normalny płaszczyzny jako wektor kierunkowy prostej, do napisania postaci parametrycznej prostej.
Prosta w przestrzeni nie ma postaci kanonicznej!

Może troszkę uporządkujmy:
równanie kanoniczne płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0,\ A^2+B^2+C^2>0}\). Ten warunek z kwadratami gwarantuje nam, że nie wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ A,B,C}\) są jednocześnie równe zero.
Mając to równanie kanoniczne mamy od razu współrzędne tzw. wektora normalnego (czyli prostopadłego do płaszczyzny) \(\displaystyle{ \vec{n}=[A,B,C]}\), i na odwrót, jeżeli masz współrzędne jakiegoś wektora prostopadłego do płaszczyzny, to masz od razu współczynniki \(\displaystyle{ [A,B,C]}\).
Dlatego obliczając iloczyn wektorowy wektorów \(\displaystyle{ \vec{AB},\vec{AC}}\) otrzymujesz wektor prostopadły do płaszczyzny, który może być wektorem normalnym.
Dzięki temu równanie płaszczyzny w postaci kanonicznej mogliśmy zapisać jako
\(\displaystyle{ 1x+1y+0z+D=0}\).
Ale do tej płaszczyzny mają należeć wszystkie punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\), stąd ich współrzędne muszą spełniać to równanie.
Dlatego możemy podstawić współrzędne dowolnego z tych punktów, podstawiamy np. współrzędne \(\displaystyle{ A}\), i stąd wyliczamy współczynnik \(\displaystyle{ D}\).
Ostatecznie dostaliśmy równanie kanoniczne płaszczyzny postaci
\(\displaystyle{ -x-y+3=0}\).

Prosta w przestrzeni nie ma równania kanonicznego!

Możesz wykorzystać wektor kierunkowy prostej i punkt do niej należący do napisania równania parametrycznego - to właśnie zrobiłaś.

Czyli w Twoim przypadku zapiszesz (używając współrzędnych wektora kierunkowego prostej (czyli normalnego płaszczyzny) i punktu przez który ma przechodzić prosta
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=1-t\\y=1-t\\z=1\end{cases}}\)

A zatem zrobiłaś prawie całe zadanie, tylko gubisz się w pojęciach. Poczytaj o tym, jak wyglądają różne postacie równań płaszczyzny i prostej, najlepiej sięgnij po notatki z wykładu lub podręcznik, bo taki kwiatek jak równanie kanoniczne prostej w przestrzeni to od razu "pała".

[elina]

Wcale nie dostałaś równania prostej, tylko równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y-3=0}\) (zresztą dokładnie takie samo jak ja).
Równanie płaszczyzny w przestrzeni ma postać
\(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\)
gdzie nie wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ A,B,C}\) są jednocześnie równe zeru.

W Twoim przypadku po prostu współczynnik \(\displaystyle{ C=0}\), co oznacza jedynie, że dostaliśmy równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy}\), albo ja kto woli, prostopadłej do osi \(\displaystyle{ Oz}\).

Gwoli scislosci:
jest oczywiscie dokladnie odwrotnie: C=0 oznacza rownanie plaszczyzny prostopadlej do \(\displaystyle{ Oxy}\) , czyli rownoleglej do osi \(\displaystyle{ Oz}\) .