Odległość prostej od płaszczyzny

[mortan517]

Mam wyznaczyć odległość prostej \(\displaystyle{ l}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=1+2t \\ y=-1+t \\ z=t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \pi: \begin{cases} x=1+t+s \\ y=-2+t-2s \\ z=3+2t-s \end{cases}}\)

Jednak wychodzi mi, że ta prosta przecina płaszczyznę. Więc odległość wynosi \(\displaystyle{ 0}\) ?

[bartek118]

Jeżeli faktycznie ją przecina, to tak.

[mortan517]

Ok, ale czy ona faktycznie ją przecina? Nie jestem pewien swoich rachunków.

[bartek118]

W jakim punkcie otrzymałeś przecięcie?

[mortan517]

No właśnie w \(\displaystyle{ (-2, -3, -1)}\), ale się nie zgadza.

[bartek118]

Punkt ten nie należy do prostej. Pokaż po kolei jak liczysz, spróbujemy znaleźć usterkę.

[mortan517]

Szukam punktu przecięcia w ten sposób, że przyrównuję każdą współrzędną, ale żeby nie było kolizji oznaczeń to w prostej zamieniłem literkę na \(\displaystyle{ r}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1+2r=1+t+s \\ -1+r=-2+t-2s \\ r = 3 + 2t - s \end{cases}}\)

A później wpisuję liczby do macierzy i rozwiązuję (kolumny odpowiednio \(\displaystyle{ r, t, s}\))

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&-1&&0\\1&-1&2&&-1\\1&-2&1&&3\end{bmatrix}}\)

[bartek118]

OK, i jeżeli nie ma punktów przecięcia, to powinieneś otrzymać układ sprzeczny.

[mortan517]

Dokładnie, a dochodzę do takiej postaci (trzeci wiersz wyrzuciłem na koniec):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&2&&-1\\0&-1&-1&&3\\0&0&-6&&6\end{bmatrix}}\)


Edit: Aa już widzę, ubzdurało mi się, że tym punktem jest trójka \(\displaystyle{ (r, s, t)}\), a po podstawieniu ich wychodzi punkt \(\displaystyle{ (-3, -3, -2)}\), który już spełnia oba układy, przy zadanych parametrach. Dzięki za pomoc.