Okrąg przechodzący przez P i styczny do prostych(równanie).

[Albercikkk]

Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt \(\displaystyle{ A(0,-1)}\), który jest jednocześnie styczny do prostych \(\displaystyle{ k: y=0}\)oraz\(\displaystyle{ l: 4x-3y+22=0}\)
Jakieś wskazówki? Kompletnie zero pomysłu z mojej strony. Domyślam się tylko, że będzie jakiś układ równań, a nawet może i dwa. Prosta przechodząca przez środek okręgu będzie miała równanie \(\displaystyle{ y=- \frac{3}{4}x + b}\)(?). Czy środek będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ S(0,y)}\)?
Z góry dzięki za wszelkie wskazówki

[lukequaint]

Narysuj opisany układ - dzięki temu powinieneś zauważyć coś więcej. Ja spróbowałbym to rozwiązać, wykorzystując wzór na odległość punktu od prostej i odległość między dwoma punktami. Środek tego okręgu, \(\displaystyle{ (c, d)}\) ma być w odległości \(\displaystyle{ r}\) od prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) oraz punktu \(\displaystyle{ A}\).

A odpowiadając na Twoje pytania:

• tak, środek będzie leżał na podanej przez Ciebie prostej (jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ l}\), a szukany okrąg ma być do niej styczny.
• nie; gdyby miał takie współrzędne, musiałby leżeć w punkcie \(\displaystyle{ (0, -1.5)}\) i nie mógłby być styczny do prostej \(\displaystyle{ l}\)

Wykorzystując informację o prostej, na której leży środek tego okręgu, powinieneś łatwo znaleźć rozwiązanie.

edit: zmieniłem \(\displaystyle{ (C, D)}\) na \(\displaystyle{ (c, d)}\).

[Albercikkk]

Narysowałem go, ale niestety jest dla mnie dość niejasny - jak może być okrąg styczny do y=0 gdy jest przechodzący przez A(0,-1)? Trochę dziwnie to wygląda.
Zaraz coś popróbuję.
edit: w sumie to jednak trochę inaczej może to wyglądać niż sobie wyobrażałem. Jednak cofam moje poprzednie zdanie.

[lukequaint]

Możesz to podejrzeć np. w kalkulatorze

Kod: Zaznacz cały

https://www.desmos.com/calculator

. Na kartkówce z tego nie skorzystasz, ale najprawopodobniej pomoże Ci w przygotowaniach do niej .

[Albercikkk]

Niestety dalej nie jestem w stanie wyznaczyć środka;
\(\displaystyle{ |SA|=d_{Sl}=d_{Sk}}\)
\(\displaystyle{ |SA|= \sqrt{X _{S}^{2} + Y _{S}^{2} + 2Y_{S}+1 }}\)
\(\displaystyle{ d_{Sl} = \frac{4X_ {S} - 3Y_{S}+22}{5}}\)
\(\displaystyle{ d_{Sk} = y _{s}}\)
dobrze wyznaczyłem odległości? czy w odległości między prostą l a punktem S nie powinno być +3Ys zamiast -3Ys?

[lukequaint]

Powinno być \(\displaystyle{ -3Y_{S}}\) i wartość bezwzględna.

Zauważ, że odległość \(\displaystyle{ S}\) od prostej \(\displaystyle{ k}\) jest równa \(\displaystyle{ r}\), wobec czego rzędna środka okręgu, tj \(\displaystyle{ Y_{S}}\) będzie równa \(\displaystyle{ r}\) lub \(\displaystyle{ -r}\). Z rysunku powinieneś wywnioskować, że środek będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ (X_{S}, -r)}\), co uprości obliczenia i ostatecznie dojdziesz do równania:

\(\displaystyle{ \frac{|4X_{S}+3r+22|}{5} = \sqrt{{X_{S}}^{2} + (r-1)^{2}}}\)