Odległość od prostych

[spammer]

Hej

Mam za zadanie znaleźć odległość między dwiema prostymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z-3=0\\ 4x-y-z-2=0 \end{cases}}\)
Wiem, że muszę przejść z tym do postaci parametrycznej tak?
Podstawiam sobie \(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -y+z-3=0\\ -y-z-2=0 \end{cases}}\)
Z pierwszego równania mam \(\displaystyle{ z=y+3}\)
Podstawiam do drugiego \(\displaystyle{ -y-y-3-2=0}\)
\(\displaystyle{ y = -\frac{5}{2}}\)
Podstawiam do \(\displaystyle{ z}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}}\)
Mam punkt \(\displaystyle{ A(0,-\frac{5}{2}, \frac{1}{2})}\)
Mnożę wektorowo wektory kierunkowe
\(\displaystyle{ [1,-1,1]x[4,-1,-1] = [0,5,3]}\)
Postać parametryczna wygląda więc tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t\\ y=5t- \frac{5}{2}\\ z=3t+ \frac{1}{2} \end{cases}}\)
Co dalej mam z tym zrobić ?

Z góry dzięki.
Pozdrawiam

[SlotaWoj]

Mam za zadanie znaleźć odległość między dwiema prostymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z-3=0\\ 4x-y-z-2=0 \end{cases}}\)

Tylko że nie są to równania prostych, a płaszczyzn. Czy może chodziło o wyznaczenie odległości pomiędzy płaszczyznami?

[spammer]

W treści zadania mam, że odległość między dwiema prostymi policzyć

[SlotaWoj]

W przestrzeni trójwymiarowej nie można określić równania prostej w postaci ogólnej, tak jak to się robi na płaszczyźnie, Te równania, które są zawarte w treści zadania są równaniami ogólnymi płaszczyzn. Płaszczyzny mogą być równoległe: różne – brak wspólnych prostych (odległość między płaszczyznami \(\displaystyle{ \neq 0}\)), lub pokrywać się – nieskończenie wiele wspólnych prostych (odległość między płaszczyznami \(\displaystyle{ =0}\)), albo nierównoległe – tylko jedna wspólna prosta (przecięcie płaszczyzn). Te w temacie nie są równoległe, więc przecinają i obie wspólnie definiują tę prostą przecięcia. Mamy więc jedna prostą. A gdzie druga? Czegoś brakuje w temacie tego zadania.

Gdyby w zadaniu było: znaleźć odległości między płaszczyznami, to rozwiązaniem byłoby następujące stwierdzenia: nie można określić odległości pomiędzy tymi płaszczyznami, bo nie są one równoległe.

Podstawiam sobie \(\displaystyle{ x=0}\)

• \(\displaystyle{ \begin{cases}-y+z-3=0\\-y-z-2=0\end{cases}}\)

są to równania dwóch prostych przecięcia tych płaszczyzn z płaszczyzną \(\displaystyle{ y0z}\).

Mam punkt \(\displaystyle{ A\left(0,-\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)}\)

są to współrzędne punktu przecięcia się tych dwóch prostych.
Wektor \(\displaystyle{ \left[1;-1;1\right]\times\left[4;-1;-1\right]=\left[0;5;3\right]}\) wyznacza płaszczyznę prostopadłą do obu ww., czyli prostopadłą do prostej prostej ich przecięcia, a to oznacza, że wyznacza kierunek tej prostej w przestrzeni (jest równoległy do tej prostej).

• \(\displaystyle{ \begin{cases}x=t\\y=5t-\frac{5}{2}\\z=3t+\frac{1}{2}\end{cases}}\)

jest parametrycznym (względem \(\displaystyle{ t}\)) równaniem tej prostej, gdzie \(\displaystyle{ \left(x(0);y(0);z(0)\right)=A\left(0,-\frac{5}{2},\frac{1}{2}\right)}\) .

Ponawiam pytanie: gdzie jest druga prosta?