Powierzchnia otrzymana poprzez obrót krzywej

[Roudin]

Zbiór P jest opisany równaniem \(\displaystyle{ x^3-y^3=0}\). Napisz równanie powierzchni obrotowych względem osi \(\displaystyle{ x}\),\(\displaystyle{ y}\),\(\displaystyle{ z}\).

Mam narysowane ale nie umiem tego zrobić. Proszę o pomoc.

[kerajs]

Przypuszczam że zbiór P jest w układzie XOY.
\(\displaystyle{ x^3-y^3=0 \\ (x-y)(x^2+xy+y^2)=0 \\ y=x}\)
Obrót tej prostej wokół OX daje walec dwypowłokowy: \(\displaystyle{ x^2=y^2+z^2}\)
Obrót tej prostej wokół OY też daje walec dwypowłokowy: \(\displaystyle{ y^2=x^2+z^2}\)
Obrót tej prostej wokół OZ to po prostu płaszczyzna XOY czyli \(\displaystyle{ z=0}\)
O to Ci chodziło?

[Roudin]

Tak właśnie o to tylko skąd się to wzięło? Mógłbyś napisać mi dokładniej chociaż przykład z osią OX?

[kerajs]

No to zabiłeś mi klina, bo ja tych równań nie wyliczałem , ale podałem je z głowy wyobrażając sobie powierzchnię obrotową uzyskaną taką ładną tworzącą.

To może dla obrotu wokół OX będzie to tak:
Szukana powierzchnia to taka, że odległość każdego jej punktu od osi OX to y(x) . Przyjmuję że punkt \(\displaystyle{ A=(x,y,z)}\) należy do powierzchni. Jego odległóść od OX to to samo co odległóść od punktu \(\displaystyle{ (x,0,0)}\). Stąd mam równanie:
\(\displaystyle{ \left| AB\right| =y(x) \\ \sqrt{(x-x)^2+(0-y)^2+(0-z)^2}= y(x) \\y^2+z^2=\left[ y(x)\right]^2}\)
Tu \(\displaystyle{ y(x)=x}\) co daje równanie \(\displaystyle{ y^2+z^2=x^2}\)

[Roudin]

Dzięki wielkie teraz rozumiem.