Środek symetrii 6-kąta foremnego przy danych 2 wierzchołkach

[Defozo]

Mam takie zadanie:
Dane są dwa sąsiednie wierzchołki sześciokąta foremnego \(\displaystyle{ A=\left( 2,0\right)}\) i \(\displaystyle{ B=\left(5,3\sqrt{3}\right)}\). Wyznacz współrzędne punktu, będącego środkiem symetrii tego sześciokąta, uwzględnij 2 przypadki.

Chciałbym jak najprościej wyznaczyć ten środek. Najprościej byłoby po prostu policzyć długość \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\), a następnie poprowadzić wektory od punktu A w prawo i od punktu B w lewo o długościach równych długości \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\), ale nie wiem, czy to nie kwestia przypadku, że akurat to są szukane środki symetrii sześciokąta foremnego?

Wcześniej próbowałem to zrobić z układu równań dwóch okręgów o środkach w A i B i dł. promieni równych \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\), ale ten układ wydaje się być dosyć trudny do rozwiązania.

Jak to zrobić najprościej?

[Gouranga]

sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych, więc szukasz de facto trzeciego wierzchołka dla trójkąta o tych dwóch podanych
możesz wyznaczyć długość \(\displaystyle{ |AB|}\) i na prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ |AB|}\) od środka odcinka \(\displaystyle{ AB}\) wyprowadzić \(\displaystyle{ \frac{|AB|\sqrt{3}}{2}}\) w obie strony

[Defozo]

Tak właśnie myślałem, tylko dlaczego akurat \(\displaystyle{ \frac{|AB|\sqrt{3}}{2}}\) (dlaczego nie 5 z tw. Pitagorasa?) i jak to wyprowadzić - w sensie - jak zapisać matematycznie?

[Ania221]

Wyznacz wysokość \(\displaystyle{ h}\) trójkąta \(\displaystyle{ AOB}\)
Punkt \(\displaystyle{ O}\) leży na prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ AB}\), przechodzącej przez środek \(\displaystyle{ AB}\) i w odległości \(\displaystyle{ h}\)

[Defozo]

No ja to wiem, pytanie, jak matematycznie wyznaczyć ten punkt \(\displaystyle{ O}\)? Jak zapisać obliczenia?

[Ania221]

Skorzystaj ze wzoru na odległość punktu od prostej.

[Dilectus]

Środek symetrii tego sześciokąta leży na symetralnej boku \(\displaystyle{ AB}\) w odległości równej wysokości trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\), czyli w odległości \(\displaystyle{ h=\left| AB\right| \frac{ \sqrt{3} }{2}}\).
Napisz więc równanie tej symetralnej i równanie okręgu o środku w połowie boku \(\displaystyle{ AB}\) i promieniu \(\displaystyle{ h}\)
Układ równań, z których jedno jest równaniem symetralnej boku \(\displaystyle{ AB}\), a drugie - równaniem tego okręgu da Ci dwa rozwiązania, będące środkami symetrii dwóch sześciokątów foremnych o wspólnym boku \(\displaystyle{ AB}\).