wykaż, że styczne przechodzące przez A i B tworzą kąt prosty

[Albercikkk]

Ukryta treść:    

"Sieczna \(\displaystyle{ k: x+y-1=0}\) przecięła okrąg \(\displaystyle{ o: x ^{2} +y ^{2} -2x+4y+1=0}\) w punktach A i B. Następnie w punktach A i B poprowadzono styczne do danego okręgu. Wykaż, że styczne te tworzą kąt prosty."

wyznaczyłem równanie ogólne prostej \(\displaystyle{ (x-1) ^{2} + (y+2)^{2}= 4}\),
z tego \(\displaystyle{ S(1,-2) \wedge r=2}\)
następnie znalazłem te punkty A i B \(\displaystyle{ A(1,0), B(3,-2)}\)
i teraz mam wykazać, że styczne do okręgu w punkcie A i B utworzą kąt prosty - jak to zrobić?
myślałem o wyznaczeniu równań kierunkowych tych prostych, ale nie mam współczynnika kierunkowego, kompletnie nie wiem jak to kontynuować;
możliwe że to jest widoczne gołym okiem i da się to prosto wyznaczyć, ale już dzisiaj siedzę długo przy tej matematyce i po prostu nie mogę, nie mam pomysłu(tak to sobie tłumaczę)
z góry dzięki za wskazówki.

edit: może układ równań tych punktów A i B, wyznaczenie a i podstawienie do wzoru na równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez dany punkt i później wziąć ten współczynnik jako odwrotność i przeciwność i zrobić to samo dla drugiego punktu? czy to coś da? czy to nadal nie to?

[jarek4700]

Skoro te styczne tworzą kąt prosty, to promienie poprowadzone do punktów \(\displaystyle{ A,B}\) też tworzą kąt prosty. Wystarczy to więc z Pitagorasa sprawdzić.

A chcąc koniecznie wyznaczyć ten współczynnik kierunkowy to zawsze można skorzystać z równania prostej prostopadłej do tej stycznej (to z kolei można by obliczyć znając środek okręgu i punkt styczności).

[Albercikkk]

Skoro te styczne tworzą kąt prosty, to promienie poprowadzone do punktów \(\displaystyle{ A,B}\) też tworzą kąt prosty. Wystarczy to więc z Pitagorasa sprawdzić.

A chcąc koniecznie wyznaczyć ten współczynnik kierunkowy to zawsze można skorzystać z równania prostej prostopadłej do tej stycznej (to z kolei można by obliczyć znając środek okręgu i punkt styczności).

nie bardzo rozumiem, jak to z pitagorasa udowodnić - mam obliczyć odległość między puntami A i B, zrobić odcinki AS i BS, i zapisać to jako twierdzenie pitagorasa by sprawdzić czy kwadrat odległości między tymi punktami wynosi tyle co kwadrat dwóch przyprostokątnych? jeśli nie tak jak myślę, to jak to zapisać algebraicznie?
bez wyznaczania współczynnia kierunkowego nie mam wyznaczonych stycznych. czy wyznaczenie tego w ten sposób:
z punktów A i B:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2=3a+b \\ 0=a+b \end{cases}}\)
z tego mam \(\displaystyle{ a=- \frac{1}{2}}\), więc teraz ze wzoru wyznaczam dwie proste styczne - jedną prostopadłą do drugiej, i jeśli owe styczne faktycznie przechodzą przez te punkty, a przechodzą - to znaczy, że zadanie zostało zrobione?

[jarek4700]

Sprawdzić czy \(\displaystyle{ |AS|^{2} + |BS|^{2} = |AB|^{2}}\)
Przy czym od razu można podstawić \(\displaystyle{ |AS|^{2} + |BS|^{2} = 2r^{2} = 8}\)
Dalej coś pomieszałeś bo \(\displaystyle{ -2 = 3x+b}\)

[Albercikkk]

Sprawdzić czy \(\displaystyle{ |AS|^{2} + |BS|^{2} = |AB|^{2}}\)
Przy czym od razu można podstawić \(\displaystyle{ |AS|^{2} + |BS|^{2} = 2r^{2} = 8}\)
Dalej coś pomieszałeś bo \(\displaystyle{ -2 = 3x+b}\)

ale ja nie mam początkowo wyznaczonego współczynnika, tylko wyznaczam go dopiero dzięki temu układowi równań; podstawiam z punktów (x,y) odpowiednio i tym samym wyznaczam współczynnik, następnie "wrzucam" to do wzoru na rownanie kierunkowe prostej przechodzącej przez np a i wychodzi, że \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}\), do której należy \(\displaystyle{ A(1,0)}\). Po czym wyznaczam prostą prostopadłą \(\displaystyle{ y=-2x+b}\) - podstawiam punkty \(\displaystyle{ B(3,-2)}\) i otrzymuję, że b=4 oraz \(\displaystyle{ y=-2x+4}\), do której należy B, co w sumie oznacza, że dwie proste są prostopadłe, bo przechodzą przez odpowiednie punkty i mają przeciwne i odwrotne współczynniki - dobrze myślę?
aczkolwiek sposób z pitagorasem też wydaje się w sumie ok.

edit faktycznie coś pomieszałem, \(\displaystyle{ 2a=-2}\)i z tego wyszło mi \(\displaystyle{ a=- \frac{1}{2}}\)-- 23 sty 2015, o 00:01 --zrobiłem zgodnie z zaleceniami jarek4700, obliczyłem sobie \(\displaystyle{ \left| AB\right| ^{2}}\) ze wzoru na długość odcinka o końcach w punktach A i B, wyszło 8, przyrównałem to do przyprostokątnych i otrzymałem 8=8, to, jak rozumiem, kończy dowód?

[Dilectus]

Wystarczy pokazać, że iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec SA}\) i \(\displaystyle{ \vec SB}\) jest zerem.

Popatrzmy

\(\displaystyle{ \vec SA_{x}\cdot \vec SB _{x}+\vec SA _{y} \cdot \vec SB _{y}=0 \cdot 2+2 \cdot 0=0}\)

[Albercikkk]

Wystarczy pokazać, że iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec SA}\) i \(\displaystyle{ \vec SB}\) jest zerem.

Popatrzmy

\(\displaystyle{ \vec SA_{x}\cdot \vec SB _{x}+\vec SA _{y} \cdot \vec SB _{y}=0 \cdot 2+2 \cdot 0=0}\)

no i kolejny sposób x)
w sumie jeszcze chyba łatwiejszy, kompletnie wyleciało mi z głowy że wektory są prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny jest zerem.
dzięki wam