Zadania z geometrii analitycznej i analizy matematycznej

[matematykiv]

Dzień dobry,
mam problem z zadanami tego typu jak w tytule. Mam nadzieję, że pomożecie mi je zrozumieć i rozwiązać bo bardzo zależy mi na dobrym opanowaniu materiału do matury.

\(\displaystyle{ I}\)

Na paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} x^{2}}\) wyznacz taki punkt \(\displaystyle{ P}\), którego odległość od punktu \(\displaystyle{ A(4,1)}\) jest najmniejsza.

Skoro \(\displaystyle{ P}\) ma należeć do paraboli to mogę jego współrzędne zapisać jako \(\displaystyle{ P(a, \frac{a^{2}}{2})}\)
Odległość pomiędzy punktami A i P ma być najmniejsza, więc zapisuje odległość nimi.
\(\displaystyle{ \left| PQ\right| = \sqrt{(4-b)^{2} + (1-\frac{a^{2}}{2})^{2} }}\) czyli
\(\displaystyle{ \left| PQ\right| = \sqrt{ \frac{b^{4}}{4} -8b + 17 }}\)

i tu sie zaczyna mój problem, bo chciałem tą odległość zapisać jako funkcję i policzyć jej pochodną i ekstremum(minimum), ale nie wiem jak to policzyć przez ten pierwiastek. Dodam tylko, że policzyłem to dalej tak jakby pierwiastka tam nie było i wynik wyszedł dobry. Tylko co zrobić z tym pierwiastkiem?

\(\displaystyle{ II}\)

Na gałęzi hiperboli o równaniu \(\displaystyle{ y= \frac{8}{x}}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in (0,+ \infty )}\), wyznacz taki punkt, którego odległość od punktu \(\displaystyle{ A(2,-2)}\) jest najmniejsza.

Robię to podobnie jak poprzednie zadanie. Tzn. określam ten punkt na hiperboli liczę odległość pomiędzy tym punktem i tym podanym z polecenia, potem pomijam ten pierwiastek jak w tamtym i liczę pochodną. Tylko, że ta pochodna wychodzi jako wielki wielomian, więc chyba nie chodzi o taki sposób rozwiązania tego, albo coś robię źle.

\(\displaystyle{ III}\)

Rozpatrujemy odcinki równoległe do osi \(\displaystyle{ OY}\), których jeden koniec leży na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f(x)=- \sqrt{x}}\), zaś drugi koniec na wykresie funkcji \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in (0,+ \infty )}\). Wykaż,że najkrótszy z tych odcinków ma długość \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \sqrt[3]{2}}\).


Oznaczyłem:
skoro punkty leżą nad sobą (odcinek utorzony przez nie jest równoległy do \(\displaystyle{ OY}\)) to \(\displaystyle{ a=b}\)
\(\displaystyle{ A(a,- \sqrt{a} ) ///

B(a, \frac{1}{a} )}\)

i odległość pomiędzy nimi to \(\displaystyle{ \frac{a^ \frac{3}{2} + 1}{a}}\) i pochodna z tego to \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2} a^ \frac{3}{2} - 1}{a^{2}}}\) i wyszło mi ekstremum ( minimum ) w punkcie \(\displaystyle{ 2^{ \frac{2}{3} }}\) jak to a podstawi sie do tej odległości wyżej to wychodzi dobry wynik jak ten do wykazania. Rozwiązałem to zadanie w trakcie dodawania, jest chyba dobrze. Tamtych pozostałych nie ogarniam najbardziej z tymi pierwiastkami w odleglościach i pochodnymi z tego.

\(\displaystyle{ IV}\)

Na hiperboli o równaniu \(\displaystyle{ y= \frac{6}{x}}\) gdzie \(\displaystyle{ x \neq 0}\) obrano punkty \(\displaystyle{ A(2,3)}\) i \(\displaystyle{ B(6,1)}\). Wyznacz na tej hiperboli taki punkt C o ujemnej odciętej, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze.

Czyli \(\displaystyle{ C(x, \frac{x}{6} )}\), policzyłem sobie dwa wektory \(\displaystyle{ \vec{AB} i \vec{AC}}\) i ze wzoru na pole trójkąta z wyznaczników tych wektorów mam \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}\left| \frac{24}{x} + 2x +10 \right|}\) i teraz wartość bezwzgędna a nie pierwiastek.. I znowu jak ją pomine tak jakby jej nie było i policzę z tego pochodną, ekstremum to wynik wyjdzie mi dobry, ale co z tego skoro tego nie rozumiem..

Mam nadzieję, że pomimo tego, że tak się rozpisałem i wygląda to tak jakby zadan było strasznie dużo to ktoś mi pomoże. Nie mam problemu ze wszystkim tylko pojedynczymi sprawami jak ta wartość bezwzględna czy pierwiastek, który jak się pominie podobnie do tej wartości bezwzględnej to wychodzi wysztko ladnie.

[Gouranga]

\(\displaystyle{ \left| PQ\right| = \sqrt{(4-b)^{2} + (1-\frac{a^{2}}{2})^{2} }}\)
skąd się wzięło \(\displaystyle{ b}\)?

[Konradek]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x}}\) jest ściśle rosnąca, więc osiąga najmniejszą wartość, wtedy, gdy funkcja \(\displaystyle{ g(x)=x}\) osiąga najmniejszą wartość. Oczywiście po zawężeniu do odpowiedniej dziedziny. Innymi słowy wartość pierwiastka pewnego wyrażenia jest najmniejsza gdy pewne wyrażenie jest najmniejsze.

[matematykiv]

\(\displaystyle{ \left| PQ\right| = \sqrt{(4-b)^{2} + (1-\frac{a^{2}}{2})^{2} }}\)
skąd się wzięło \(\displaystyle{ b}\)?

Oczywiście powinno być (4-a)

[Gouranga]

no, i masz funkcję jednej zmiennej, pochodna i ekstrema

[matematykiv]

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x}}\) jest ściśle rosnąca, więc osiąga najmniejszą wartość, wtedy, gdy funkcja \(\displaystyle{ g(x)=x}\) osiąga najmniejszą wartość. Oczywiście po zawężeniu do odpowiedniej dziedziny. Innymi słowy wartość pierwiastka pewnego wyrażenia jest najmniejsza gdy pewne wyrażenie jest najmniejsze.

Czyli gdy mam takie coś \(\displaystyle{ \left| PQ\right| = \sqrt{ \frac{b^{4}}{4} -8b + 17 }}\) to oznaczam sobie \(\displaystyle{ g(x)= \frac{b^{4}}{4} -8b + 17}\) czyli inaczej \(\displaystyle{ \left| PQ\right| = \sqrt{g(x)}}\) i licze ekstrema tego \(\displaystyle{ g(x)}\) --- nie trzeba tu liczyć dziedziny, kiedy g(x) jest większe od 0?? Potem stwierdzam, że \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{g(x)}}\) jest rosnąca tak jak piszesz i osiąga najmniejszą wartość wtedy kiedy \(\displaystyle{ g(x)}\) ? Tu chodzi tak jakby o oś OX, że minimalna wartość jest dla tego samego iksa, ale sama w sobie wartość jest inna tak?

Edit: a co z zadaniem drugim? I tą wartością bezwzględną w IV?-- 24 sty 2015, o 21:37 --Nikt nic? Bardzo zależy mi na tym żebyście pomogli mi to zrozumieć.