Odstęp punktu A od płaszczyzny

[jagielloma]

Witam,

mam takie zadanko do zrobienia:

Oblicz odstęp w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) pomiędzy punktem \(\displaystyle{ A=(2,0,-\frac{1}{2})}\) i płaszczyzną:
\(\displaystyle{ P=\{(x,y,z): 4x-4y+2x-1=0\}}\).

Kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać. Patrzyłem na przykłady, gdzie podane równanie parametryzowało się, ale czy w tym przypadku też tak należy zrobić?

[lukasz1804]

Wystarczy podstawić współrzędne punktu i współczynniki równania płaszczyzny do wzoru na odległość punktu od płaszczyzny.

[jagielloma]

Domyślam się, że chodzi o następujący wzór:

\(\displaystyle{ d(A, P)=\frac{|Ax_A+By_A+Cz_A+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}\)

Zatem będę miał, że:

\(\displaystyle{ d(A, P)=\frac{|4 \cdot 2 + (-4) \cdot 0+2 \cdot - \frac{1}{2} |}{\sqrt{4^2+4^2+2^2}}= \frac{|8-1-1|}{\sqrt{16+16+4}}=\frac{|6|}{\sqrt{36}}= \frac{6}{6}=1}\)

Czy to jest dobre rozwiązanie?

[lukasz1804]

W liczniku zgubiłeś \(\displaystyle{ D}\).

[jagielloma]

Faktycznie, drobne niedopatrzenie. Będzie tak:

\(\displaystyle{ d(A, P)=\frac{|4 \cdot 2 + (-4) \cdot 0+2 \cdot (-\frac{1}{2}) -1 |}{\sqrt{4^2+4^2+2^2}}}\)

Jednak wynik pozostanie bez zmian, bo po znaku równości uwzględniłem \(\displaystyle{ D}\), dlatego było w liczniku \(\displaystyle{ |8-1-1 |}\). Dziękuję za pomoc.