Równanie płaszczyzny zawierającej oś OY

[tonyhouk]

Cześć!
Mam problem ze znalezieniem wektora normalnego takiej płaszczyzny. Męcze się z tym strasznie, ale chyba mi się udało czy np. wektor \(\displaystyle{ \left( 0,0,1\right)}\) może być? I czy ktoś mógłby wyjaśnić jak poprawnie wyznaczyć wektory normalne płaszczyzn zawierające osie OX, OY i OZ?

[kerajs]

Może tak:
Wektor normalny szukanej płaszczyzny otrzymam z iloczynu wektorowego np. wersora \(\displaystyle{ \left[ 0,1,0\right]}\) i dowolnego nierównoległego wektora \(\displaystyle{ \left[ a,b,c\right]}\) dzie a i c nie mogą być równocześnie zerami
\(\displaystyle{ \vec{n} =\left[ 0,1,0\right] \times \left[ a,b,c\right]=\left[-c,0,a\right]}\)
Płaszczyzna ma równanie :
\(\displaystyle{ -cx+az=0}\), ( nie ma D bo przechodzi przez początek układu)
Równie dobrze można zapisać że ma postać:
\(\displaystyle{ Ax+Cz=0}\) gdzie A i C nie są równocześnie zerami.

Analogicznie wyznaczysz płaszczyznę zawierającą oś OX : \(\displaystyle{ By+Cz=0}\), jak i zawierającą oś OZ : \(\displaystyle{ Ax+By=0}\),

[SlotaWoj]

Do Kerajs

...wyznaczyć wektory normalne płaszczyzn zawierające osie OX, OY i OZ?

trochę mętnie sformułował problem, więc nie wiadomo czy Twoja odpowiedź go zadowoli.

Na napiszę tak:

• Najpierw nt. braków w sformułowaniu problemu.
  • Wektor nie może zawierać osi. Wektor może być tylko równoległy lub nierównoległy do osi. Więc jeżeli pytanie dotyczyło równoległości wektorów do osi 0X, 0Y i 0Z, to gdy jest on równoległy do osi 0X, to nie może być równoległy do pozostałych osi.
    Jeżeli pytanie dotyczyło wektorów normalnych płaszczyzn zawierających osie 0X, 0Y i 0Z, żadna płaszczyzna nie może być równoległa jednocześnie do trzech osi układu współrzędnych – najwyżej do dwóch.
  A teraz ogólnie.
  Załóżmy, że chodzi o wektor normalny do płaszczyzny zawierającej którąś oś układu współrzędnych, to wtedy wektor ten musi być do tej osi prostopadły, tzn. współrzędna wektora odpowiadająca tej osi jest równa 0. Gdy płaszczyzna zawiera dwie osie układu współrzędnych, to wektor do niej normalny jest prostopadły do tych osi, a to oznacza, że jest równoległy do trzeciej i tylko współrzędna wektora odpowiadająca tej osi jest różna od 0.
  
  Jest to konsekwencją tego że:
  • Wektor \(\displaystyle{ \left[ A; \ B; \ C \right]}\) gdzie: \(\displaystyle{ \ A^2+B^2+C^2>0}\)
    jest prostopadły do płaszczyzny o równaniu ogólnym \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest dowolne.

[tonyhouk]

Może tak:
Wektor normalny szukanej płaszczyzny otrzymam z iloczynu wektorowego np. wersora \(\displaystyle{ \left[ 0,1,0\right]}\) i dowolnego nierównoległego wektora \(\displaystyle{ \left[ a,b,c\right]}\) dzie a i c nie mogą być równocześnie zerami
\(\displaystyle{ \vec{n} =\left[ 0,1,0\right] \times \left[ a,b,c\right]=\left[-c,0,a\right]}\)
Płaszczyzna ma równanie :
\(\displaystyle{ -cx+az=0}\), ( nie ma D bo przechodzi przez początek układu)
Równie dobrze można zapisać że ma postać:
\(\displaystyle{ Ax+Cz=0}\) gdzie A i C nie są równocześnie zerami.

Analogicznie wyznaczysz płaszczyznę zawierającą oś OX : \(\displaystyle{ By+Cz=0}\), jak i zawierającą oś OZ : \(\displaystyle{ Ax+By=0}\),

Czyli wystaczy wyznaczyć dowolny wektor w którym y = 0?

[kerajs]

Tak, oprócz zerowego \(\displaystyle{ [0,0,0]}\)