Kąt pomiędzy prostymi

[Fard]

Chciałbym, aby ktoś zweryfikował czy mój tok myślenia jak i sposób obliczania jest poprawny. Z góry dziękuje.
POLECENIE:
Wyznaczyć kąt pomiędzy prostymi l i k, gdzie:
\(\displaystyle{ l:\begin{cases} x=2t+1 \\ y=2t-1 \\ z = t+5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ k: \begin{cases} x+4y-z=0\\ 4y+3z-1=0 \end{cases}}\)

Tak więc pomyślałem że wyznaczę po prostu kąt pomiędzy wektorami tych prostych.
Wektor pierwszej prostej to będzie \(\displaystyle{ \vec{l} =[2,2,1]}\) a z drugiej wyliczyłem poprzez iloczyn wektorowy wektorów \(\displaystyle{ \vec{n}}\)dwóch płaszczyzn \(\displaystyle{ \vec{k}=[1,4,-1] \times [0,4,3] = \begin{vmatrix} i&j&k\\1&4&-1\\0&4&3\end{vmatrix} = [16, -3, 4]}\)

i teraz ze wzoru na cos:
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{\vec{l} \cdot \vec{k}}{\vec{|l|}*\vec{|k|}} = \frac{10}{ \sqrt{261} } \approx 0,5965}\)

[SlotaWoj]

Tylko, że najpierw trzeba trzy równania prostej l podstawić do równań prostaj k i je rozwiązać. Jeśli rozwiązania będą różne, proste nie przecinają się, są "zwichrowane"..

[Fard]

Ale dalej wszystko ok? Mógłbyś mi pomóc rozpisać te równania początkowe?

[SlotaWoj]

Jeżeli wszystkie trzy równania parametryczne prostej l podstawimy do pierwszego z równań k (a jest to równanie płaszczyzny) i rozwiążemy, to otrzymana wartość \(\displaystyle{ t_1}\) będzie odpowiadała punktowi prostej, w którym przebija ona tę płaszczyznę. Gdy podobnie zrobimy dla drugiego równania k, otrzymamy \(\displaystyle{ t_2}\) punktu prostej, w którym przebija ona tę drugą płąszczyznę. \(\displaystyle{ t_1 \neq t_2}\) oznacza, że prosta l przebija obie płaszczyzny w różnych punktach, czyli po za prostą k w której one sie przecinają, a tym samym proste l i k nie mają punktów wspólnych, czyli są zwichrowane