Oblicz pole trojkata ABC

[illynay12]

Punkty A(-4;0) i B(2;2) są dwoma wierzchołkami trójkata rownoramiennego AC=BC. Środkowe wychodzace z wierzchołków A i B przecinaja sie pod kątem prostym. Oblicz pole trójkąta ABC.

[wujomaro]

Zrób rysunek i dojdź do tego w jakim punkcie przetną się środkowe. Gdy będziesz już znała współrzędne tego punktu, zastosuj wzór na współrzędne środka ciężkości, aby wyznaczyć współrzędne wierzchołka C. Gdy już je znajdziesz, podstaw do wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach w punkach \(\displaystyle{ A, B, C}\).
Pozdrawiam!

[illynay12]

jak mam obliczyc w jakim punkcie sie one przetna?

[wujomaro]

Wykorzystaj fakt, że przetną się pod kątem prostym oraz, że \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoramienny.
Pozdrawiam!

[Dilectus]

Trzecia środkowa opuszczona z wierzchołka C jest też wysokością \(\displaystyle{ h}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Ponieważ środkowe trójkąta przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ O}\), który dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ \frac{2}{1}}\), więc punkt ten wypada w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości \(\displaystyle{ h}\). Ponieważ środkowe boków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) przecinają się pod kątem prostym, więc trójkąt \(\displaystyle{ ABO}\) jest równoramiennym trójkątem prostokątnym o kącie przy podstawie \(\displaystyle{ \alpha=90^{o}}\), więc wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABO}\) jest równa \(\displaystyle{ \left| AB\right| \frac{ \sqrt{2} }{2}}\).

Mamy zatem

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}h=\left| AB\right| \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ h=\left| AB\right| \frac{3 \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}\left| AB\right|^2 \frac{3 \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) oblicz samodzielnie - znasz współrzędne punktów \(\displaystyle{ A \ \text{i} \ B}\)