pkt przecięcia, pkt przebicia, wzajemne położenie

[Modesta]

Witam. Proszę o pomoc w zadaniach z Wykładu Monograficznego. Chodzi mi o możliwe rozwiązanie zadań, a przede wszystkim o wytłumaczenie. Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc

Zadanie 1.
Znaleźć punkt przecięcia trzech płaszczyzn dwuwymiarowych w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ R^3}\)
a)
\(\displaystyle{ x_1 - 4x_2 - 2x_3 +3 = 0

3x_1 + x_2 + x_3 -5 = 0

-3x_1 + 12x_2 + 6x_3 - 7 = 0}\)

Zadanie 2.
Znaleźć punkt przebicia prostej l z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi^2}\) w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ R^3}\).
a)
\(\displaystyle{ x_1 = -1 +2t

x_2 = 3 + 4t

x_3 = 3t


\pi^2 : 3x_1 - 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0}\)

Zadanie 3.
Znaleźć równanie prostej w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ R^3}\) przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ A(2,3,1)}\) oraz przechodzącej przez punkt przebicia prostej \(\displaystyle{ l: x_1 = 1 +t, x_2 = -2t, x_3 = 1+3t}\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi^2 : 4x_1 - x_2 + 3x_3 + 1 = 0}\) .

Zadanie 4.
Napisać równanie hiperpłaszczyzny w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ R^4}\) wyznaczonej przez płaszczyznę
\(\displaystyle{ \pi^2 :

x_1 + 2x_2 - x_3 = 0

2x_1 - x_2 + x_4 - 1 = 0}\)


i pkt \(\displaystyle{ A(4,2,-1,1)}\).

Zadanie 5.
W zależności od wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) zbadać wzajemne położenie prostych w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ R^2}\)

\(\displaystyle{ l_1 : ax_1 + x_2 = 1

l_2 : x_1 + ax_2 = 1

l_3 : x_1 + x_2 = a}\)

Czy w tym zadaniu trzeba najpierw znaleźć parametr \(\displaystyle{ a}\) i później sprawdzić czy mają pkt wspólny , czy są do siebie równoległe i prostopadłe?

[miodzio1988]

Nie widze pytan do 1-4, co konkretnie sprawia problem?

Zad 5

DO macierzy i dzialasz Gaussem od razu

[Modesta]

Do zadań typu 1 - 4 wgl niewiem jak się zabrać, co mi jest potrzebne by móc je rozwiązać.

[miodzio1988]

Zad 1 rozwiazujesz uklad rownan

zad 2 wstawiasz prosta do plaszczyzny

Zad 3 i zad 4 znajdziesz podobne u nas na forum

na rozwiazania bym raczej nie liczyl

[Modesta]

W każdym bądź razie bardzo Ci dziękuję, postaram się zrobić to według twoich wskazówek. Jeszcze raz ślicznie dziękuję.

-- 11 sty 2015, o 23:36 --

Przepraszam, jeszcze mam jedno pytanko bo nie rozumiem dlaczego wychodzi mi inny wynik niż w książce, a wydaje mi się że robię dobrze zadanie 3...

1. Wpierw podstawiam prosta do płaszczyzny, obliczam t. Wychodzi mi że iż \(\displaystyle{ t= - \frac{8}{15}}\)

2. wstawiam t do prostej i otrzymuje punkt przebicia \(\displaystyle{ B( \frac{7}{15} , \frac{16}{15} , - \frac{9}{15} )}\)

3. Obliczam wektor \(\displaystyle{ AB=( - \frac{23}{15} , - \frac{29}{15} , - \frac{24}{15} )}\)

4. Podstawiam do wzoru:

\(\displaystyle{ x=2 - \frac{23}{15} t ; y=3 - \frac{29}{15} t ; z=1 - \frac{24}{15}t}\)


w książce zaś mam rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x=2 + 23t

y=3 + 29t

z=1 +24t}\)
Czy moje rozwiązanie w takim wypadku jest dobre?