Równanie kierunkowe prostej

[doris3434]

Dwa wierzchołki trójkąta równobocznego ABC znajdują się na paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y=x ^{2} -4x+7}\) , zaś trzecim wierzchołkiem trójkąta jest wierzchołek paraboli . Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

[GluEEE]

Wierzchołek paraboli możemy już policzyć.
Pozostałe trzeba policzyć z tego, że odległość między nimi jest równa odległości jednego z nich od wierzchołka.

[lukasz1804]

Aby nie wprowadzać zbędnych oznaczeń (dwie różne odcięte wierzchołków \(\displaystyle{ x_1,x_2}\)), wygodniej jest zauważyć, że wysokość w tym trójkącie to różnica rzędnych danego wierzchołka i jednego z szukanych wierzchołków. Ta wysokość jest \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\) razy dłuższa od boku trójkąta (odległość między danym a jednym z szukanych wierzchołków).

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (x^2-4x+7)-3=\sqrt{(x-2)^2+[(x^2-4x+7)-3]^2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(x^2-4x+7)-3}{2}=|x-2|\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ |x-2|^2=|x-2|\sqrt{3}}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ x\ne 2}\), więc \(\displaystyle{ |x-2|=\sqrt{3}}\)