Dlaczego sinus pomiędzy wektorami jest dodatni?

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 31 gru 2014, o 02:07

Mam zadanie: oblicz sinus kąta utworzonego pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ \vec{u} = [12,-5], \vec{v}= [6,8]}\).
Obliczam cosinus z iloczynu skalarnego i iloczynu długości wektora, wychodzi \(\displaystyle{ \frac{16}{65}}\). Podstawiam do jedynki trygonometrycznej i wychodzi, że \(\displaystyle{ \sin= \frac{63}{65} \vee \sin= -\frac{63}{65}}\)

A odpowiedź jest jedynie dodatnia. sprawdzałem to sobie na wykresach czy to się pokrywa itd no i jest wszystko ok niby, ale z jakiegoś powodu w odpowiedzi jest tylko jeden wynik. Jak sobie naryuje te wektory to na oko można stwierdzić, że kąt pomiędzy nimi to 30 stopnii albo 150 i wykrać jakąś odpowiedź ze wspólnego wykresu sinusa i cosinusa, ale chyba nie chodzi o to w matematyce, żeby robić coś na oko. Liczę na waszą pomoc.

sebnorth · Post autor: **sebnorth** » 31 gru 2014, o 02:22

sinus będzie dodatni ponieważ kąt jest z przedziału \(\displaystyle{ (0;\pi)}\)

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 31 gru 2014, o 02:26

Po pierwsze: sinus musi być z czegoś.
Po drugie: \(\displaystyle{ \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ}}\)
Po trzecie: rozpatrujemy dwie pierwsze ćwiartki układu, a tam sinus jest dodatni.

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 31 gru 2014, o 10:41

Kacperdev pisze:Po pierwsze: sinus musi być z czegoś.
Po drugie: \(\displaystyle{ \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ}}\)
Po trzecie: rozpatrujemy dwie pierwsze ćwiartki układu, a tam sinus jest dodatni.

Ale dlaczego tylko dwie pierwsze? Sinus zawsze bedzie dodatni a cosinus raz dodatni raz ujemny? Bo nie rozumiem tego.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 31 gru 2014, o 10:44

Kąt między wektorami musi być z odcinka \(\displaystyle{ [0, \pi]}\)

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 31 gru 2014, o 11:05

bartek118 pisze:Kąt między wektorami musi być z odcinka \(\displaystyle{ [0, \pi]}\)

Wyobrazilem sobie wektor o początku w środku układu współrzędnych i końcu gdzieś na osi OX, drugi wektor gdzieś w iv ćwiartce. Zeby był tam sinus albo cosinus to te wektory muszą być takiej długości, żeby po polaczeniu ich koncow był tam kat prosty czy nie? Bo ja nie mam żadnej teorii w głowie jeśli chodzi o wektory i średnio to rozumiem. Wydaje mi sie ze te wektory nie muszą mieć takich długości żeby tam był ten kat prosty, no ale ciężko mi sobie wtedy wyobrazić tam sinusa albo cosinusa.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 31 gru 2014, o 11:12

matematykiv pisze:
bartek118 pisze:Kąt między wektorami musi być z odcinka \(\displaystyle{ [0, \pi]}\)

Wyobrazilem sobie wektor o początku w środku układu współrzędnych i końcu gdzieś na osi OX, drugi wektor gdzieś w iv ćwiartce. Zeby był tam sinus albo cosinus to te wektory muszą być takiej długości, żeby po polaczeniu ich koncow był tam kat prosty czy nie? Bo ja nie mam żadnej teorii w głowie jeśli chodzi o wektory i średnio to rozumiem. Wydaje mi sie ze te wektory nie muszą mieć takich długości żeby tam był ten kat prosty, no ale ciężko mi sobie wtedy wyobrazić tam sinusa albo cosinusa.

Nijak nie rozumiem o co Ci chodzi; w szczególności co mają długości tych wektorów do kąta między nimi.

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 31 gru 2014, o 11:18

bartek118 pisze:
matematykiv pisze:
bartek118 pisze:Kąt między wektorami musi być z odcinka \(\displaystyle{ [0, \pi]}\)

Wyobrazilem sobie wektor o początku w środku układu współrzędnych i końcu gdzieś na osi OX, drugi wektor gdzieś w iv ćwiartce. Zeby był tam sinus albo cosinus to te wektory muszą być takiej długości, żeby po polaczeniu ich koncow był tam kat prosty czy nie? Bo ja nie mam żadnej teorii w głowie jeśli chodzi o wektory i średnio to rozumiem. Wydaje mi sie ze te wektory nie muszą mieć takich długości żeby tam był ten kat prosty, no ale ciężko mi sobie wtedy wyobrazić tam sinusa albo cosinusa.
Nijak nie rozumiem o co Ci chodzi; w szczególności co mają długości tych wektorów do kąta między nimi.

Do kata nic, ale żeby był tam sinus to kat chyba musi być prostokątny i wyobrażam sobie tam 3. Wektor który łączy te dwa i tworzy sie tam trojkat i z długości wektorów można określić sinusa cosinusa itd

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 31 gru 2014, o 11:23

matematykiv pisze: Do kata nic, ale żeby był tam sinus to kat chyba musi być prostokątny i wyobrażam sobie tam 3. Wektor który łączy te dwa i tworzy sie tam trojkat i z długości wektorów można określić sinusa cosinusa itd

Jak kąt może być prostokątny? I jakie 3? Nijak nie rozumiem

matematykiv · Post autor: **matematykiv** » 31 gru 2014, o 11:27

bartek118 pisze:
matematykiv pisze: Do kata nic, ale żeby był tam sinus to kat chyba musi być prostokątny i wyobrażam sobie tam 3. Wektor który łączy te dwa i tworzy sie tam trojkat i z długości wektorów można określić sinusa cosinusa itd
Jak kąt może być prostokątny? I jakie 3? Nijak nie rozumiem

Ok juz chyba zrozumiałem, tu najpierw szukamy kąta a potem do kata dopasowywujemy sinusa, a nie najpierw sinus a potem kąt?