odleglosc prostych

[woznyadam]

witam, mam takie zadanie ale nie wiem jak dokladnie je zrobic i jak rozpisac aby bylo prawidlowo

zad

Oblicz odleglosc prostych
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x-5y+5=0\\8x-10y-5=0\end{cases}}\)

a) sprawdzamy czy są to proste rownolegloe, jezeli tak to punkt b
b) do rownania I prostej za x wstawiamy 0 i obliczamy y
c) obliczamy odleglosc otrzymanego pkt od drugiej prostej (poslugujac sie wzorem)

i to bedzie tak?

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x-5y+5=0\\8x-10y-5=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -5y=-4x-5/:(-5)\\-10y=-8x+5/:(-10)\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=\frac{4}{5} x+1\\y=\frac{4}{5} x-2\end{cases}}\)

i jak obliczyc dalej? bo wlanie tego za bardzo nie wiem

[Jopekk]

Rozwiązujesz układ równań, tj. mnożysz pierwsze równanie przez -2 i dodajesz do drugiego. Otrzymujesz: \(\displaystyle{ -15=0}\), zatem linie nie mają punktu przecięcia.

Odległość między dwoma liniami dana jest wzorem: \(\displaystyle{ d= \frac{|\vec{AB} (u v )|}{|u v|}}\)

Na linii pierwszej obieramy dowolny punkt A, a na linii drugiej dowolny B.

[woznyadam]

ale jak to prawidlowo rozpisac?

po liczbie 1 i -2 w rownaniach widac ze nie beda sie przecinac, ze sa rownolegle

wiec teraz niby przechodzimy do pkt b

b)do rownania I prostej za x wstawiamy 0 i obliczamy y

czyli \(\displaystyle{ y=\frac{4}{5} x+1}\)
x=0
\(\displaystyle{ y=\frac{4}{5} 0+1}\)
\(\displaystyle{ y=0+1}\)
\(\displaystyle{ y=1}\)

dobrze?

a do podpunktu c) musze wykorzystac wzor
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}\)

[Jopekk]

Komp mi padł. Zresztą to można inaczej jak masz wykorzystać to równanie z punktu c.

Liczysz sobie kąt między liniami \(\displaystyle{ \cos\alpha=1}\), czyli \(\displaystyle{ \arccos(1)=0}\).
Wynika to ze wzoru na kąt między liniami.
Linie nie przecinają się.
Zatem na linii drugiej obieramy dowolny punkt i tworzymy wektor między tym punktem a drugą linią, który jest pod kątem prostym do drugiej linii, czyli

\(\displaystyle{ B=(2;11/10)}\)

Równanie parametryczne drugiej linii to x=t; y=1+4/5t.

\(\displaystyle{ \vec{AB} \vec{dir_{1}}=\left[\begin{array}{c}2-t\\1/10-4/5t\end{array}\right] ft[\begin{array}{c}1\\4/5\end{array}\right]=0}\) (to jest produkt skalarny).

Wynika z tego, że \(\displaystyle{ t=\frac{52}{41}}\)

Czyli szukana odległość \(\displaystyle{ \sqrt{ (2-52/41)^{2}+(1/10-208/205)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{164}}}\)

[Lorek]

\(\displaystyle{ k:\: Ax+By+C=0\\l: \: Ax+By+C_1=0\\d=\frac{|C-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)
wstawić co mamy i jest.
A wyprowadzić to można prowadząc dowolną prostą prostopadłą do tych prostych, wyznaczając punkt przecięcia tych prostych z prostą prostopadłą i licząc odległość między tymi punktami.

[Jopekk]

Pewnie miałeś na myśli, że podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ d= \frac{A(x_{1})+B(y_{1})+C(z_{1})+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\),
otrzymujemy \(\displaystyle{ d= \frac{4(2)-5(\frac{11}{10})+5}{\sqrt{4^{2}+(-5)^{2}}}}\)\(\displaystyle{ = \frac{7.5}{\sqrt{41}} =\sqrt{\frac{225}{164}}}\)

Tylko, że pytano o rozwiązanie (inną) metodą wymagającą użycia wzoru na długość wektora.

[Lorek]

Tylko, że pytano o rozwiązanie (inną) metodą wymagającą użycia wzoru na długość wektora.

A żeby wyprowadzic ten wzór co napisałem, to niby z czego się korzysta? A tak poza tym to działamy w 2D nie 3D