Szukam wzoru do obliczenia pewnego wymiaru

[matmaforum]

Witam wszystkich serdecznie.

Szukam wzoru na obliczenie pewnego wymiaru, a że jestem kompletnie zielony z matmy to bardzo proszę Was o pomoc.


Znane są a, h i R.
Szukam wzoru na x.

W praktyce wygląda to np tak:
a- 60mm
h- 30mm
R- 500mm
Pewnie jest na to prosty wzór (tylko ja słabo temat ogarniam), ale jeśli nie, a jest możliwość jego uproszczenia, to tak naprawdę potrzebuję dokładności do ~5mm.

Pozdrawiam.

[Dilectus]

Gdzie jest środek tego okręgu? - Sam promień nie wystarczy. Wyobraź sobie, że masz pasek o wysokości \(\displaystyle{ h}\) z ciasta na pierogi. Chcesz odciąć szklanką o promieniu \(\displaystyle{ R}\) kawałek taki, żeby dolny bok był równy \(\displaystyle{ a}\). Wymiar \(\displaystyle{ x}\) będzie zależał od tego, gdzie umieścisz środek szklanki.

[matmaforum]

Racja.
Całość wygląda tak:


DN i D są znane.
Rzeczywisty przykład:
DN- 500mm
D- 620mm
R- 500mm
h- 30mm

[Dilectus]

A gdzie jest iks na tym rysunku?

[matmaforum]

Sorki. Widziałem ten rysunek już setki razy i automatycznie złożyłem sobie w głowie rysunek z pierwszego posta i następnego.

Dla czytelności zamieszczam jeszcze jeden rys.

[Dilectus]

Mówisz:

jestem kompletnie zielony z matmy

więc podam gotowy wzór

Oznaczmy

\(\displaystyle{ DN=d}\)

\(\displaystyle{ x=a+ \frac{1}{2}d- \sqrt{ \frac{1}{4} d^2-h^2-2 \sqrt{R^2- \frac{1}{4}d^2 } }}\)

Chyba, że się gdzieś rąbnąłem...

Na liczbach Ci nie zrobię, bo nie napisałeś, ile to jest \(\displaystyle{ a}\) (w milimetrach).

[matmaforum]

wow. Dzięki. Zaraz sprawdzę czy to działa

\(\displaystyle{ a=(D-DN)/2}\)
czyli tak jak w pierwszym poście, w przykładzie
\(\displaystyle{ a=60mm}\)

więc podam gotowy wzór

Żeby się czegoś nowego nauczyć chętnie poznam jak do tego dojść O ile oczywiście nie stanowiłoby to dla Pana problemu, żeby to rozpisać.

EDIT:

Niestety coś nie pasuje. Rozrysowałem sobie przykład w CADzie 1:1 i wyszło tak:
\(\displaystyle{ x \approx 121,27mm}\)


Natomiast ze wzoru wyszło mi \(\displaystyle{ x \approx 63,56mm}\)

[SidCom]

Najpierw policzymy wsp. środka okręgu \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\). Z symetrii rysunku zakładam, że \(\displaystyle{ x_0=a+{DN}/2}\)

Mamy dwa punkty na okręgu \(\displaystyle{ (a,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (x,h)}\) (rysunek umieszczę na życzenie)
Z równania okręgu dostajemy \(\displaystyle{ (a-x_0)^2+y_0^2=R^2 \Rightarrow y_0=-\frac{\sqrt{4R^2-{DN}^2}}{2}}\)

I teraz liczymy drugi punkt

\(\displaystyle{ \left(x-a-\frac{DN}{2}\right)^2+\left(h+\sqrt{\frac{4R^2-{DN}^2}{2}\right)^2=R^2}\)

stąd

\(\displaystyle{ x=-\frac{\sqrt{-4h\sqrt{4R^2-DN^2}-4h^2+DN^2}-2a-DN}{2}}\)

podstawiając dostajemy \(\displaystyle{ x \approx 121.27 \ mm}\)

[matmaforum]

Przyłożyłem się bardziej do poszukania odpowiednich wzorów i udało mi się dojść do wyniku

Wykorzystałem to:

Kod: Zaznacz cały

http://matma4u.pl/topic/36919-kolo-i-jego-czesci-najwazniejsze-wzory/

\(\displaystyle{ c _{1}}\)- długość dłuższej cięciwy = DN = 500mm
\(\displaystyle{ c _{2}}\) - długość krótszej cięciwy (przedłużenie mojego szukanego \(\displaystyle{ x}\))
\(\displaystyle{ h _{1}}\) - strzałka większego odcinka kołowego
\(\displaystyle{ h _{2}}\) - strzałka mniejszego odcinka kołowego
\(\displaystyle{ h _{m}}\) -> h moje = 30mm
\(\displaystyle{ r}\) - promień

długość strzałki odcinka kołowego
\(\displaystyle{ h _{1} =r - \frac{1}{2} \sqrt{4r ^{2} - c _{1} { } ^{2} }}\)

długość strzałki mniejszego odcinka kołowego
\(\displaystyle{ h _{2} =h _{1} - h _{m}}\)

długość cięciwy mniejszego odcinka kołowego
\(\displaystyle{ c _{2} =2 \sqrt{2h _{2} r - h _{2} { } ^{2} }}\)

moja niewiadoma
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}( D - c _{2})}\)

całość
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}( D - (2 \sqrt{2r((r - \frac{1}{2} \sqrt{4r ^{2} - c _{1} { } ^{2} }) - h _{m}) - ((r - \frac{1}{2} \sqrt{4r ^{2} - c _{1} { } ^{2} }) - h _{m})^{2} }))}\)

Po połączeniu tego wszystkiego wychodzi kosmiczny (jak dla mnie) wzór, którego uprościć za bardzo nie potrafię (a raczej się boje, że go popsuje ), ale na szczęście excel nie ma z tym problemów

Podstawiłem to wszystko do excela i wynik się zgadza.


EDIT: Widzę, że zanim napisałem posta ktoś mnie uprzedził z rozwiązaniem

[Dilectus]

Widać gdzieś się rąbnąłem...

A robiłem to tak:

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ Q}\) - punkt styczności odcinka a z okręgiem
\(\displaystyle{ P}\) - punkt styczności odcinka x z okręgiem

1. W środku układu współrzędnych okrąg o promieniu R:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=R^2}\)

2. Cięciwa tego okręgu na wysokości H (nad środkiem okręgu) tak dobranej, żeby jej długość była równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}d}\)

3. Liczę H z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ H^2=R^2- \left( \frac{1}{2}d\right)^2}\)

4. Liczę różnicę iksowych współrzędnych punktów \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ P}\), czyli \(\displaystyle{ x _{Q}-x _{P}}\). Żeby to zrobić, liczę najpierw \(\displaystyle{ y _{P}}\)

\(\displaystyle{ y _{P}=y _{Q}+h=H+h= \sqrt{R^2- \left( \frac{1}{2}d\right)^2}+h}\)

Wstawiam to do równania okręgu i wyliczam \(\displaystyle{ x _{P}}\)

\(\displaystyle{ x _{P}^2+y _{P}^2=R^2 \Rightarrow x _{P}^2= R^2-y _{P}^2}\)

\(\displaystyle{ x _{P}^2= R^2-\left( \sqrt{R^2- \left( \frac{1}{2}d\right)^2}+h\right)^2}\)

\(\displaystyle{ x _{Q}-x _{P}= \frac{1}{2}d-x _{P}= \frac{1}{2}d- \sqrt{R^2-\left( \sqrt{R^2- \left( \frac{1}{2}d\right)^2}+h\right)^2}}\)

i o tyle dłuższy jest odcinek \(\displaystyle{ x}\) od odcinka \(\displaystyle{ a}\), zatem

\(\displaystyle{ x=a+ x _{Q}-x _{P}}\)

\(\displaystyle{ x=a+\frac{1}{2}d- \sqrt{R^2-\left( \sqrt{R^2- \left( \frac{1}{2}d\right)^2}+h\right)^2}}\)

Uprośćmy to, co pod pierwiastkiem:

\(\displaystyle{ x=a+\frac{1}{2}d- \sqrt{ \frac{1}{4} d^2-h^2-2 \sqrt{R^2- \frac{1}{4}d^2 } }}\)

[matmaforum]

Dzięki panowie. Nie wiedziałem jak się do tego zabrać, a teraz mam dwa różne wzory na to
Trzeci wzór (chronologicznie drugi) co prawda nie działa, ale dzięki temu sam również doszedłem do rozwiązania. Tylko może mniej elegancko