wyznaczenie czasu znalezienia się punktów w jednej linii

[Hebo]

dwa punkty poruszają się po dwóch okręgach (o wspólnym środku), o różnych promieniach i z różnymi prędkościami kątowymi z różnymi kątami początkowymi, jak wyznaczyć czas kiedy znajdą się w jednej linii?
doszedłem tylko do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \sin(\omega_{1}t+\varphi_{1})=\sin(\omega_{2}t+\varphi_{2})}\)
\(\displaystyle{ \cos(\omega_{1}t+\varphi_{1})=\cos(\omega_{2}t+\varphi_{2})}\)
i wyznaczenie części wspólnej? jeżeli tak, jak to zrobić?

[kerajs]

Dwa rozłączne punkty zawsze leżą na pewnej prostej.

Chodziło Ci pewnie o sytuację, że punkty są na tej samej półprostej zaczepionej w środku układu (w środku tych okręgów).
Kąt musi być ten sam więc:
\(\displaystyle{ \omega _{1} t+\varphi _{1} =\omega _{2} t+\varphi _{2}+k2 \pi}\)
\(\displaystyle{ (\omega _{1} - \omega _{2})t =\varphi _{2}-\varphi _{1}+k2 \pi}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{\varphi _{2}-\varphi _{1}+k2 \pi }{\omega _{1} - \omega _{2}}}\)

Dobierając kolejne k otrzymasz kolejne szukane t.

[Hebo]

a jak dołożyć warunek, że ta półprosta może być poprowadzona w obie strony?

[kerajs]

W poprzednim poscie punkty były nalbliżej siebie.

Teraz chcesz aby były w największej odległości.
Kąty różnią się o kąt półpełny:
\(\displaystyle{ \omega _{1} t+\varphi _{1} =\omega _{2} t+\varphi _{2}+ \pi +k2 \pi}\)
\(\displaystyle{ (\omega _{1} - \omega _{2})t =\varphi _{2}-\varphi _{1}+ \pi +k2 \pi}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{\varphi _{2}-\varphi _{1}+ \pi +k2 \pi }{\omega _{1} - \omega _{2}}}\)