Płaszczyzny - niezrozumienie.

[cruznovsky]

Sytuacja jest taka: Należy napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A (nie ważne jaki) i prostopadłej do jakiś dwóch płaszczyzn. Mam tutaj
problem, niezrozumienie. Wiem, że należy w tych dwóch płaszczyzn wyznaczyć wektory normalne oraz pomnożyć je wektorowo (czyli przez obliczenie wyznaczników). Chodzi o to, że mając przykładowo wektor n1 i n2, wstawiam najpierw n1, pod nim n2 i wychodzi mi jakiś wektor, lecz jeśli wstawię najpierw n2, a pod nim n1 to wyjdą mi inne znaki, wtedy równanie płaszczyzny będzie miało różne znaki, np: 2x+2y=0 lub -2x-2y=0. Jak się podstawi punkt należący do płaszczyzny to zgadza się w obydwu wersjach równania, ale czy w tym wypadku to nie ma różnicy, który wektor najpierw wstawię? Czyli równanie płaszczyzny może być w wersji "dodatniej" jak i z minusami?

[ZF+GCH]

Nie ma róznicy. Punkt należy do płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równanie płaszczyzny. Każde pomnożenie równania stronami przez stałą niezerową (tutaj przez \(\displaystyle{ -1}\)) jest przejściem równoważnym pomiędzy równaniami. A patrząc na wektory mnożąc w jednej kolejności, dostajesz wektor przeciwny do tego, który otrzymujesz mnożąc w drugiej kolejności. Wektor jest prostopadły do płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor do niego przeciwny jest prostopadły.