Okręgi styczne zewnętrznie

[Narufirefox]

Ostatnio na próbnej maturze rozszerzonej z matematyki z CKE pojawiło się zadanie z geometrii analitycznej, mianowicie:

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ O_{0}}\) o równaniu \(\displaystyle{ (x-3)^{2} + (y-1)^{2} = 1}\). W pierwszej "ćwiartce" układu współrzędnych istnieją dwa okręgi \(\displaystyle{ O_{1}, O_{2}}\) styczne zewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ O_{0}}\) i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów \(\displaystyle{ O_{1}}\) i \(\displaystyle{ O_{2}}\)

I nie rozumiem jednej rzeczy, bo oczywiście zapisuje warunek na styczność zewnętrzną do tego okręgu i mam coś takiego: \(\displaystyle{ \sqrt{ (x-3)^{2} + (y-1)^{2} } = r + 1}\). W kluczu odpowiedzi z CKE jest napisane, że równanie ma wyglądać tak \(\displaystyle{ \sqrt{ (r-3)^{2} + (r-1)^{2} } = r + 1}\), przy czym rozwiązanie go nie stanowi problemu, tylko nie rozumiem użycia zamiast współrzędnych x,y promienia r? I co by się działo gdyby całe zadanie odbywało się np w drugiej "ćwiartce" ?

[Zahion]

Wyjaśnia to styczność okręgu do osi układów współrzędnych, dlatego też \(\displaystyle{ x = y = r}\).

[Narufirefox]

A gdyby było w II, III lub IV ćwiartce a również styczne do osi ?

[Zahion]

Gdyby było w drugiej ćwiartce to jedynie mielibyśmy \(\displaystyle{ x = -r}\). Dalej analogicznie.

[Narufirefox]

I wtedy przykładowo równanie wyglądałoby w taki sposób ? \(\displaystyle{ \sqrt{ (-r-3)^{2} + (-r-1)^{2} } = r + 1}\)

[Zahion]

Takie równanie będziemy mieć w III ćwiartce.

[Narufirefox]

Dobra, rozumiem na czym zabawa polega. Dzięki wielkie

[Zahion]

Po prostu środek okręgu stycznego do osi układu ma współrzędne \(\displaystyle{ ( \pm r, \mp r)}\) w zależności od ćwiartek, gdzie \(\displaystyle{ r}\) to promień. Dalej stosujesz tylko wzór na odległość.