Dowodzenie - trapez i okręgi, których średnice to ramiona

Defozo · Post autor: **Defozo** » 22 gru 2014, o 22:04

Witam, mam takie zadanie:
Dany jest trapez ABCD w który można wpisać okrąg. Udowodnij, że okręgi które zostały skonstruowane na ramionach trapezu jako na średnicach są styczne zewnętrznie.
Nie ważne jakie jest najprostsze rozwiązanie, zastanawiam się, czy nie dałoby się tego rozwiązać wykorzystując geometrię analityczną?

P.S. Jeśli w trapez można wpisać okrąg to jest to trapez prostokątny?

Proszę o pomoc,
Defozo

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 22 gru 2014, o 22:09

PS. Nie.

A co z tej geometrii planujesz ?

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 22 gru 2014, o 22:13

Nie jest prostokątny.
Połącz końce ramienia trapezu ze środkiem okręgu wpisanego. (dwusieczne kątów)
Jaki jest kąt między tymi dwusiecznymi?

Defozo · Post autor: **Defozo** » 22 gru 2014, o 22:16

Narysowałem sobie trapez w układzie współrzędnych i przyjąłem:
\(\displaystyle{ A=\left( 0,0\right);}\) \(\displaystyle{ B=\left( 1,0\right);}\) \(\displaystyle{ C=\left( 1-a,b\right);}\) \(\displaystyle{ D=\left( a,b\right)}\)
Czy są to dobre oznaczenia?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 22 gru 2014, o 22:29

Warunek wpisania okręgu masz ?

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 22 gru 2014, o 22:29

Co jest warunkiem, żeby w trapez (czworokąt) można było wpisać okrąg?

Defozo · Post autor: **Defozo** » 22 gru 2014, o 22:52

Sumy przeciwległych boków muszą być sobie równe.
tj. \(\displaystyle{ \left| AB\right|+\left| DC\right|=\left| AD\right|+\left| BC\right|}\)

Hydra147 · Post autor: **Hydra147** » 22 gru 2014, o 23:25

Nie widzę sensu stosowania geometrii analitycznej, mamy bowiem (\(\displaystyle{ M,N}\) środki ramion \(\displaystyle{ AD,BC}\)):
\(\displaystyle{ MN= \frac{1}{2} (AB+DC)= \frac{1}{2} (AD+BC)= AM+BM}\)
zatem odległość środków dwóch okręgów jest równa sumie ich promieni czyli okręgi te są styczne.