Równanie normalne i parametryczne płaszczyzny

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Fidor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 15 sty 2014, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 41 razy

Równanie normalne i parametryczne płaszczyzny

Post autor: Fidor »

Witam!

Proszę o pomoc z zadaniem
Na forum jest sporo podobnych przykładów, jednak w większości przypadków pojawia się albo sam wynik, albo niektóre tylko kroki i... No, nie wiem co zrobić w pewnym momencie

Wyznacz równanie normalne i parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez \(\displaystyle{ A = \left(1,-1,0 \right) \ B = \left( 2,3,7\right) \ C = \left( 4,0,1\right)}\)

Równanie normalne:
Wyznaczam wektory \(\displaystyle{ \vec{AB} = \left[ 1,4,7\right] \ \vec{AC} = \left[ 3,1,1\right]}\)
Następnie mnożę je wektorowo, uzyskując \(\displaystyle{ \vec{n} \left[ -3,20,-11\right]}\)

I nie bardzo wiem co z tym dalej zrobić, ktoś wskazałby drogę?

Równanie parametryczne:
Wybieram punkt wspólny dla obu wektorów rozpinających, czyli \(\displaystyle{ A}\)
Zatem równanie parametryczne płaszczyzny powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 + t +3s\\ y = -1 +4t +s \\ z =7t +s \end{cases}}\)

To się zgadza, czy jest jakiś błąd?

Pozdrawiam!
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Równanie normalne i parametryczne płaszczyzny

Post autor: a4karo »

Drugie ok.
W pierwszym już wyznaczyłeś wektor normalny. Stałą wyznacz z faktu, że plaszczyzna przez coś przechodzi
Fidor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 15 sty 2014, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 41 razy

Równanie normalne i parametryczne płaszczyzny

Post autor: Fidor »

Zatem próbuję tak:
Najpierw wyznaczam równanie ogólne
Wektor \(\displaystyle{ \vec{n}}\) już mam
Równanie normalne płaszczyzny \(\displaystyle{ ax +by +cz + d}\)
Podstawiam współrzędne wektora oraz punktu \(\displaystyle{ A}\), otrzymuję:
\(\displaystyle{ -3 \cdot 1 + -1 \cdot 20 + 0 \cdot -11+ d = 0}\)
Zatem równanie ostatecznie wygląda tak: \(\displaystyle{ -3x + 20y - 11z -23 = 0}\)

Teraz przechodzę do równania normalnego
Wyliczam długość wektora \(\displaystyle{ \vec{n} \ N = \sqrt{\left( -3\right) ^{2} + 20 ^{2} + \left( -11\right) ^{2} } = \sqrt{530}}\)

Następnie liczę
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{A}{N} \\ \beta = \frac{B}{N} \\ \gamma = \frac{C}{N} \\ \delta= \frac{D}{N}}\)

Wynik to (pomijam skracanie i uładnianie):
\(\displaystyle{ \frac{-3}{\sqrt{530}}x + \frac{20}{\sqrt{530}}y + \frac{-11}{\sqrt{530}} + \frac{-23}{\sqrt{530}} = 0}\)

Coś pomyliłem, czy raczej jest dobrze?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Równanie normalne i parametryczne płaszczyzny

Post autor: a4karo »

Z Twoich rachunków powinno chyba wyjść \(\displaystyle{ d=23}\), reszta wygląda OK
Fidor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 15 sty 2014, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 41 razy

Równanie normalne i parametryczne płaszczyzny

Post autor: Fidor »

Każdy czasami gubi minusa
Dziękuje
ODPOWIEDZ