styczne Okręgi 2W

[kiper100]

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ o _{0}}\) równaniu \(\displaystyle{ (x-3) ^{2}+(y-1) ^{2} =1}\).
W pierwszej "ćwiartce" układu współrzędnych istnieją dwa okręgi \(\displaystyle{ o _{1}}\) i \(\displaystyle{ o _{2}}\) stycznie zewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ o _{0}}\) i jednocześnie styczne do osi układu współrzędnych. oblicz odległość srodków okregów.

Jedne widzę, drugiego nijak
\(\displaystyle{ (x-1) ^{2}+(y-1) ^{2} =1}\)
\(\displaystyle{ (x-9) ^{2}+(y-9) ^{2}=81 =9 ^{2}}\)

Czyli odległość między nimi to \(\displaystyle{ 64}\)

Ale to jest metoda prób i błędów, a nie mam pojęcia jak to udowodnić analitycznie.
Jak się do tego zabrać, bardzo prosze o pomoc.

[lukasz1804]

Mój pomysł jest trochę nieformalny, ale rozwiązanie bardzo syntetyczne.

Niech \(\displaystyle{ r}\) oznacza długość promienia szukanego okręgu (otrzymamy jednocześnie dwa różne, więc i dwa rozwiązania). Warto zauważyć na początku, że \(\displaystyle{ r\ge 1}\) (w przeciwnym razie nie byłoby styczności zarówno z okręgiem \(\displaystyle{ o_0}\) jak i z osiami układu).

Skoro okrąg leży w I ćwiartce układu i jest styczny do obu osi układu współrzędnych, to jego środek ma współrzędne \(\displaystyle{ (r,r)}\).

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny (w jednym przypadku będzie on zdegenerowany do odcinka) o wierzchołkach w punktach \(\displaystyle{ (r,1),(3,1),(r,r)}\).
Jego przyprostokątne mają długość \(\displaystyle{ r-1,|3-r|}\), a przeciwprostokątna, wobec zewnętrznej styczności szukanego i danego okręgu \(\displaystyle{ o_0}\), ma długość \(\displaystyle{ r+1}\).

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa łatwo dostajemy \(\displaystyle{ r=1, r=9}\).