Obliczenie współrzędnych punktu trójkąta

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
bartekac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 14 mar 2014, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Obliczenie współrzędnych punktu trójkąta

Post autor: bartekac »

Witam,

Od pewnego czasu próbuję poradzić sobie z rozwiązaniem pewnego problemu, którego potrzebuję do napisania programu i nie do końca mogę się z nim uporać.
W kartezjańskim układzie współrzędnych rozpatrzmy trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym dane są współrzędne punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha=\measuredangle ABC}\). Znany jest również stosunek \(\displaystyle{ k=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}}\). Wyznacz współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\). Wiadomo, że istnieją dwa rozwiązania, bo punkt \(\displaystyle{ C}\) może być po obu stronach prostej \(\displaystyle{ AB}\), ale jako że jest to odbicie symetryczne, to interesuje mnie dowolne rozwiązanie z obu.
Byłbym wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu problemu.
marika331
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 395
Rejestracja: 22 paź 2009, o 09:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 38 razy

Obliczenie współrzędnych punktu trójkąta

Post autor: marika331 »

Obliczyłabym wysokość (opuszczoną na AB) z tg kąta alfa, a potem AC i BC
bartekac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 14 mar 2014, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Obliczenie współrzędnych punktu trójkąta

Post autor: bartekac »

W jaki sposób dokładnie wyznaczyć tę wysokość? Gdyby oznaczyć spodek wysokości opuszczonej na \(\displaystyle{ AB}\) jako \(\displaystyle{ D}\), to nie znamy ani \(\displaystyle{ CD}\) ani \(\displaystyle{ BD}\) ani \(\displaystyle{ AD}\), dana jest tylko alfa. Nie do końca widzę co z tangensem tego kąta można by zrobić.
marika331
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 395
Rejestracja: 22 paź 2009, o 09:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 38 razy

Obliczenie współrzędnych punktu trójkąta

Post autor: marika331 »

Tg, to będzie h pzez połowę AB.
Są dane współrzędne A i B, to długość obliczymy.
bartekac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 14 mar 2014, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Obliczenie współrzędnych punktu trójkąta

Post autor: bartekac »

Ale nie jest to trójkąt równoramienny, więc wysokość nie będzie dzieliła \(\displaystyle{ AB}\) na połowy.
marika331
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 395
Rejestracja: 22 paź 2009, o 09:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 38 razy

Obliczenie współrzędnych punktu trójkąta

Post autor: marika331 »

Racja. Ale skoro dwa bokisą proporcjonalne, to wysokość podzieli na 2 trójkąty podobne.
Podaj konkretne liczby.
bartekac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 14 mar 2014, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Obliczenie współrzędnych punktu trójkąta

Post autor: bartekac »

Właśnie sprawdziłem, że wcale nie ma tam trójkątów podobnych w tym przypadku (chyba że nie widzę jakichś ukrytych). Bardzo sugestywny jest ten dany stosunek, ale mam rysunek z przykładem, który przeczy faktowi podobieństwa:

Są zamienione niechcący niektóre nazwy punktów, ale nie ma to znaczenia. Rysunek nie jest do końca czytelny, więc \(\displaystyle{ \alpha=53^\circ}\), \(\displaystyle{ k= \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{AB}=4{,}18}\).
Miary innych kątów nie są do końca widoczne, ale są one po prostu zupełnie różne.
ODPOWIEDZ