Wyznaczanie cosinusów kierunkowych

[Piotr246]

Witam mam problem z takim zadaniem, otóż nie mam pojęcia jak wyznaczyć cosinusy kierunkowe osi prostopadłej, jest takie zadanko:
Oś s jest prostopadła do osi p mającej cosinusy kierunkowe \(\displaystyle{ \frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ cos(s, OX) = \frac{1}{3}}\) , wyznaczyć pozostałe cosinusy kierunkowe osi s.

No i wnioskuję z tego że oś p ma długość równą 5 i jest określona przez wektor [3,0,4], natomiast nie wiem jak ruszyć oś s. Czy mógłby mi ktoś powiedzieć jak rozwiązywać takie zadania?
Z góry dziękuję.

[Speed094]

Jeśli p ma cosinusy kierunkowe \(\displaystyle{ \frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}}\) to wersor ma osi p ma współrzędne \(\displaystyle{ \left[\frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}\right]}\) . A wersor osi s ma współrzędne \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{3},y,z\right]}\) Dalej iloczyn skalarny i zależność jaką spełniają kosinusy kierunkowe

[Piotr246]

No to z iloczynu skalarnego wyszło mi że \(\displaystyle{ \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot y + \frac{4}{5} \cdot z = 0}\)
Czyli \(\displaystyle{ \frac{4}{5} z = - \frac{1}{5} \Rightarrow z=- \frac{1}{4}}\)

Z własności że suma kwadratów cosinusów kierunkowych dają 1 wyliczam:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}^{2} + y^{2} + (- \frac{1}{4})^{2}= 1}\)
czyli \(\displaystyle{ y^2= 1 - \frac{25}{144}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{\sqrt{119} }{12}}\)

Dobrze?

[Speed094]

Jeszcze \(\displaystyle{ y= -\frac{\sqrt{119} }{12}}\)

[Piotr246]

Wielkie dzięki
A takie pytanie, czy dało się wyznaczać iloczyn skalarny z osi p nie zredukowanej do wersora? Czyli bez mianownika 5, tylko z liczbami całkowitymi. Ja tak wcześniej próbowałem zrobić. Co ewentualnie by było potem policzyć inaczej żeby wyszło?