miara kąta między wektorami

[malwinka1058]

oblicz miarę kąta między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\) wiedząc, że wektory \(\displaystyle{ \vec{u}=3 \vec{a}+2 \vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{u}=- \vec{a}+4 \vec{b}}\) są prostopadłe oraz | \(\displaystyle{ \vec{a}}\) | = | \(\displaystyle{ \vec{b}}\) | = 1

bardzo proszę o pomoc, bo pierwszy raz mam do czynienia z tego typu zadaniem i nie do końca wiem jak wybrnąć. z tego co udało mi się znaleźć, to najlepiej liczyć to z tego wzoru na cos kąta między wektorami, tylko tam porzebuję uzależnionych od siebie współrzędnych tych wektorów a i b, to z kolei próbuję wyliczyć z warunku prostopadłości wektorów i tej równości długości w założeniach, ale chyba za dużo niewiadomych mam...
z góry dziekuje

[chris_f]

Obliczmy iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec{u},\vec{v}}\). Dostaniemy
\(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{v}=(3\vec{a}+2\vec{b})\circ(-\vec{a}+4\vec{b})=
-3\vec{a}\circ\vec{a}+12\vec{a}\circ\vec{b}-2\vec{b}\circ\vec{a}+9\vec{b}\circ\vec{b}}\)
Wiemy, że te wektory są prostopadłe oraz wykorzystując informację o długościach dostaniemy
\(\displaystyle{ -3+12\vec{a}\circ\vec{b}-2\vec{a}\circ\vec{b}+9=0}\)
\(\displaystyle{ 10\vec{a}\circ\vec{b}=-6}\)
\(\displaystyle{ \vec{a}\circ\vec{b}=-\frac35}\)
I teraz tylko wzór na cosinus kąta między wektorami
\(\displaystyle{ \cos\angle(\vec{a},\vec,{b})=\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=-\frac35}\)

[Speed094]

Obliczmy iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec{u},\vec{v}}\). Dostaniemy
\(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{v}=(3\vec{a}+2\vec{b})\circ(-\vec{a}+4\vec{b})=
-3\vec{a}\circ\vec{a}+12\vec{a}\circ\vec{b}-2\vec{b}\circ\vec{a}+9\vec{b}\circ\vec{b}}\)
Wiemy, że te wektory są prostopadłe oraz wykorzystując informację o długościach dostaniemy
\(\displaystyle{ -3+12\vec{a}\circ\vec{b}-2\vec{a}\circ\vec{b}+9=0}\)
\(\displaystyle{ 10\vec{a}\circ\vec{b}=-6}\)
\(\displaystyle{ \vec{a}\circ\vec{b}=-\frac35}\)
I teraz tylko wzór na cosinus kąta między wektorami
\(\displaystyle{ \cos\angle(\vec{a},\vec,{b})=\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=-\frac35}\)

Mały błąd widzę ma być \(\displaystyle{ 8\vec{b}\circ\vec{b}}\)

[chris_f]

Zgadza się, to uprości końcówkę, bo wyjdzie \(\displaystyle{ -\frac12}\).