Kombinacja liniowa

[Piotr246]

Witam, mam problem w dziedzinie samych podstaw geometrii analitycznej otóż, jest takie zadanie:

Dane są niewspółliniowe punkty A,B,C i dany punkt P, leżący na prostej BC. Zapisać wektor AP jako kombinację wektorów AB i AC.

Nieważne co robię, zawsze w końcu dochodzę do postaci AP=AP i wszystko mi się zeruje... Jak robić zadania takiego typu?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \alpha \vec{AB}+ \beta \vec{AC}= \vec{AP}}\)
Mając współrzedne punktów A, B, C, P rozwiazujesz układ równań z alfą i betą.

[Piotr246]

Sęk w tym że nie mam żadnych współrzędnych. Wektory są tylko w postaci "literkowej". Na liczbach to żaden problem

[kerajs]

Można zrobić jeszcze to:

Każdy z wektorów AB, AC, AP rozłożę na składową prostopadłą do prostej BCP (i w każdym przypadku bedzie to wektor u) oraz składową równoległą (wektor oznaczony inną niż u lierką).
Mam
\(\displaystyle{ \vec{AB}= \vec{u}+ \vec{v} \\\vec{AC}= \vec{u}+ \vec{w} \\\vec{AB}= \vec{u}+ \vec{y}}\)
Z kombinacji liniowej mam
\(\displaystyle{ \alpha \vec{AB}+ \beta \vec{AC}= \vec{AP}}\)
\(\displaystyle{ \alpha (\vec{u}+ \vec{v}) + \beta (\vec{u}+ \vec{w}) = (\vec{u}+ \vec{y})}\)
grupuję składowe do siebie prostopadłe
\(\displaystyle{ \alpha \vec{u}+ \beta \vec{u} = \vec{u} \wedge \alpha \vec{v} + \beta \vec{w} = \vec{y}}\)
Z pierwszego równania mam
\(\displaystyle{ \alpha \vec{u}+ \beta \vec{u} = \vec{u} \Rightarrow \alpha + \beta =1 \Rightarrow \beta =1- \alpha}\)
Drugie równanie zależy od położeniia punktu A względem B , C i P , a tej informacji nie ma w treści zadania.
Otrzymałem ciut łatwiejszą kombinację liniową:
\(\displaystyle{ \alpha \vec{AB}+ (1- \alpha ) \vec{AC}= \vec{AP}}\)