Przecinanie się prostych na okręgu - parametr

[sjkfxdlgas]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) proste \(\displaystyle{ k: 2x-5y-m-6=0}\) i \(\displaystyle{ p: x+y-m+3=0}\) przecinają się w punkcie, który należy do okręgu o środku \(\displaystyle{ (2,1)}\) i \(\displaystyle{ r=\sqrt{5}}\)?

Równanie tego okręgu to \(\displaystyle{ (x-2)^2+(y-1)^2=5}\) i nie wiem co dalej - jak przyrównam do siebie podane proste, to wyjdzie kolejna prosta o równaniu \(\displaystyle{ x-6y-9=0}\). To prosta na której leżą potencjalne punkty przecięcia się k i p w zależności od m?

[Konradek]

Zacznijmy od tego, że jeżeli proste się przecinają to co będzie rozwiązaniem danego układu równań?

[sjkfxdlgas]

Chyba nie rozumiem pytania...

punkt?

[Konradek]

Tak, punkt. Wyznacz jego współrzędne.

[sjkfxdlgas]

\(\displaystyle{ 2x-5y-m-6=0 \wedge x+y-m+3=0 \\}\)

czyli

\(\displaystyle{ 5y =2x-m-6 \wedge y=-x+m-3}\)

czyli

\(\displaystyle{ y = \frac{2}{5}x-\frac{m}{5} - \frac{6}{5} \wedge y=-x+m-3}\)

\(\displaystyle{ -x+m-3=\frac{2}{5}x-\frac{m}{5} - \frac{6}{5}}\)

\(\displaystyle{ \frac{7}{5}x=\frac{6}{5}m - \frac{9}{5}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{6}{7}m - \frac{9}{7}}\)

czyli

\(\displaystyle{ y = -x+m-3 = -\frac{6}{7}m+\frac{9}{7} + m -3 = \frac{1}{7}m - \frac{12}{7}}\)

Punkt przecięcia się prostych ma współrzędne \(\displaystyle{ \left(\frac{6}{7}m - \frac{9}{7};\frac{1}{7}m - \frac{12}{7} \right)}\)

No i nadal nie wiem co dalej.

[Konradek]

Też mi tak wyszło.
No teraz to przecież prosto. Kiedy punkt należy do krzywej? Kiedy współrzędne tego punktu spełniają jej równanie. Musisz w takim razie podstawić te współrzędne do wzoru okręgu i rozwiązać równianie z jedną niewiadomą.

[sjkfxdlgas]

Liczby kosmiczne, ale wyszło: \(\displaystyle{ m = \frac{129}{37} \vee m=5}\).

[Konradek]

Dokładnie jak mi.
To koniec. Rozumiesz, co się działo?
Najpierw wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia danych prostych. Następnie sprawdzamy, dla jakich \(\displaystyle{ m}\) ten punkt będzie należał do okręgu opisanego danym równaniem.

[sjkfxdlgas]

Ta, zrozumiałem. Przy prostszych liczbach sam bym to ogarnął; dzięki